問題文
図1のように電圧がE [V] の直流電圧源で構成される回路を、図2のように電流がI [A] の直流電流源(内部抵抗が無限大で、負荷変動があっても定電流を流出する電源)で構成される等価回路に置き替えることを考える。この場合,電流I [A] の大きさは図1の端子a-bを短絡したとき、そこを流れる電流の大きさに等しい。また、図2のコンダクタンスG [S] の大きさは図1の直流電圧源を短絡し、端子a-bからみたコンダクタンスの大きさに等しい。
I [A] とG [S] の値を表す式の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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選択肢
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(1)
\(I = \dfrac{R_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}E\), \(G = \dfrac{R_{2}+R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\)
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(2)
\(I = \dfrac{R_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}E\), \(G = \dfrac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\)
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(3)
\(I = \dfrac{R_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}E\), \(G = \dfrac{R_{2}+R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\)
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(4)
\(I = \dfrac{R_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}E\), \(G = \dfrac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\)
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(5)
\(I = \dfrac{R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}E\), \(G = \dfrac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\)
**電流 \(I\) (短絡電流):**
図1の端子a-bを短絡すると、\(R_3\)と\(R_2\)が並列接続となり、これらが\(R_1\)と直列になる。
回路全体の合成抵抗は \(R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2+R_3}\)。
電源からの全電流は \(\dfrac{E}{R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2+R_3}}\)。
短絡電流 \(I\) は、この全電流が\(R_2\)と\(R_3\)に分流したうちの\(R_3\)側（a-b側）の電流である。
分流の法則より、
\[ I = \dfrac{E}{R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2+R_3}} \times \dfrac{R_2}{R_2+R_3} = \dfrac{E R_2}{R_1(R_2+R_3) + R_2 R_3} = \dfrac{R_2 E}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3} \]
**コンダクタンス \(G\):**
電圧源\(E\)を短絡すると、端子a-bから見て、\(R_1\)と\(R_2\)の並列回路に対し、\(R_3\)が直列に接続された形となる。
合成抵抗 \(R_{ab} = R_3 + \dfrac{R_1 R_2}{R_1+R_2} = \dfrac{R_3(R_1+R_2) + R_1 R_2}{R_1+R_2} = \dfrac{R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2}{R_1+R_2}\)
コンダクタンス \(G\) は抵抗の逆数なので、
\[ G = \dfrac{1}{R_{ab}} = \dfrac{R_1+R_2}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} \]