図のように、\(R_{1}=20\) [Ω] と \(R_{2}=30\) [Ω] の抵抗、静電容量 \(C=\dfrac{1}{100\pi}\) [F] のコンデンサ、インダクタンス \(L=\dfrac{1}{4\pi}\) [H] のコイルからなる回路に周波数 \(f\) [Hz] で実効値 V [V] が一定の交流電圧を加えた。\(f=10\) [Hz] のときに \(R_{1}\) を流れる電流の大きさを \(I_{10Hz}\) [A], \(f=10\) [MHz] のときに \(R_{1}\) を流れる電流の大きさを \(I_{10MHz}\) [A] とする。このとき、電流比 \(\dfrac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}}\) の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(1)。共振周波数は \(f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = 10 \, [\text{Hz}]\) である。したがって 10 Hz では並列部が開放状態となり \(Z_{10Hz} = R_1 + R_2 = 50 \, [\Omega]\)、\(I_{10Hz} = V/50\) である。10 MHz ではコンデンサがほぼ短絡となって \(Z_{10MHz} = R_1 = 20 \, [\Omega]\)、\(I_{10MHz} = V/20\) なので、比は \(\dfrac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}} = \dfrac{V/50}{V/20} = 0.4\) となる。
詳細解説
正解は(1)です。
共振周波数の確認:
並列共振周波数 \(f_0 = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}} = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{\dfrac{1}{4\pi} \cdot \dfrac{1}{100\pi}}} = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{\dfrac{1}{400\pi^2}}} = \dfrac{1}{2\pi \cdot \dfrac{1}{20\pi}} = 10\) [Hz]。
\(f=10\) Hz のとき:
回路は並列共振状態にある。並列部分（LとC）のインピーダンスは無限大（理想的には開放）とみなせるため、電流は \(R_2\) の枝にのみ流れる。
回路の合成抵抗 \(Z_{10Hz} = R_1 + R_2 = 20 + 30 = 50\) [Ω]。
電流 \(I_{10Hz} = \dfrac{V}{50}\)。
\(f=10\) MHz のとき:
周波数が非常に高いため、コンデンサのリアクタンス \(X_C = \dfrac{1}{2\pi f C}\) はほぼ0（短絡状態）となる。
並列部分は短絡状態となるため、電流は全てコンデンサの枝を通り、\(R_2\)には流れない。
回路の合成抵抗 \(Z_{10MHz} = R_1 = 20\) [Ω]。
電流 \(I_{10MHz} = \dfrac{V}{20}\)。
電流比:
\(\dfrac{I_{10Hz}}{I_{10MHz}} = \dfrac{V/50}{V/20} = \dfrac{20}{50} = 0.4\)
以上より、選択肢(1)が正解です。
