図のように、環状鉄心に二つのコイルが巻かれている。コイル1の巻数は \(N\) であり、その自己インダクタンスは \(L\) \([\text{H}]\) である。コイル2の巻数は \(n\) であり、その自己インダクタンスは \(9L\) \([\text{H}]\) である。巻数 \(n\) の値を表す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、鉄心は均一で一定断面積をもち、コイル及び鉄心の漏れ磁束はなく、鉄心の磁気飽和もないものとする。
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要点
正解は(3)。同じ鉄心・同じ断面積なら、自己インダクタンスは巻数の2乗に比例します。したがって \(9L\) になるには巻数比が \(\sqrt{9}=3\) 倍必要なので、\(n=3N\) です。鉄心条件が同じと分かっているので、比で見れば迷わず解けます。
詳細解説
この問題では、自己インダクタンスが巻数の2乗に比例することをそのまま比の式に落とし込むのがポイントです。
自己インダクタンス \(L\) は巻数の2乗に比例する。
\[ L \propto N^2 \]
したがって、
\[ \dfrac{L_2}{L_1} = \left( \dfrac{n}{N} \right)^2 \]
\[ \dfrac{9L}{L} = \left( \dfrac{n}{N} \right)^2 \rightarrow 9 = \left( \dfrac{n}{N} \right)^2 \]
\[ \dfrac{n}{N} = 3 \rightarrow n = 3N \]
よって、(3)が正しい。
この問題では鉄心の材質や形状が同じと明記されているので、比を取れば巻数以外の条件は消えます。二乗比例だけを押さえて \(9=(n/N)^2\) と置ければ十分です。自己インダクタンスの定義式を最初から展開しなくても、比例関係を見抜ければ短く確実に解けます。
