図のように、\(R=\sqrt{3}\omega L\) [Ω] の抵抗、インダクタンス \(L\) [H] のコイル、スイッチ S が角周波数 \(\omega\) [rad/s] の交流電圧 \(\dot{E}\) [V] の電源に接続されている。スイッチ S を開いているとき、コイルを流れる電流の大きさを \(I_{1}\) [A]、電源電圧に対する電流の位相差を \(\theta_{1} [^{\circ}]\) とする。また、スイッチ S を閉じているとき、コイルを流れる電流の大きさを \(I_{2}\) [A]、電源電圧に対する電流の位相差を \(\theta_{2} [^{\circ}]\) とする。このとき、\(\dfrac{I_{1}}{I_{2}}\) 及び \(|\theta_{1}-\theta_{2}| [^{\circ}]\) の値として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
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(1)
\(\dfrac{I_{1}}{I_{2}} = \dfrac{1}{2}\), \(|\theta_{1}-\theta_{2}| = 30\)
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(2)
\(\dfrac{I_{1}}{I_{2}} = \dfrac{1}{2}\), \(|\theta_{1}-\theta_{2}| = 60\)
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(3)
\(\dfrac{I_{1}}{I_{2}} = 2\), \(|\theta_{1}-\theta_{2}| = 30\)
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(4)
\(\dfrac{I_{1}}{I_{2}} = 2\), \(|\theta_{1}-\theta_{2}| = 60\)
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(5)
\(\dfrac{I_{1}}{I_{2}} = 2\), \(|\theta_{1}-\theta_{2}| = 90\)
要点
正解は(2)。コイルのリアクタンスを \(X_{L} = \omega L\) とすると、\(R = \sqrt{3}X_{L}\)。
詳細解説
コイルのリアクタンスを \(X_{L} = \omega L\) とすると、\(R = \sqrt{3}X_{L}\)。
スイッチ S 開（直列回路）:
インピーダンス \(Z_{1} = \sqrt{R^{2} + X_{L}^{2}} = \sqrt{3X_{L}^{2} + X_{L}^{2}} = 2X_{L}\)。
電流 \(I_{1} = \dfrac{E}{2X_{L}}\)。
位相差 \(\tan \theta_{1} = \dfrac{X_{L}}{R} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta_{1} = 30^{\circ}\) (遅れ)。
スイッチ S 閉（Rが短絡、Lのみ）:
インピーダンス \(Z_{2} = X_{L}\)。
電流 \(I_{2} = \dfrac{E}{X_{L}}\)。
位相差 \(\theta_{2} = 90^{\circ}\) (遅れ)。
比率: \(\dfrac{I_{1}}{I_{2}} = \dfrac{E/2X_{L}}{E/X_{L}} = \dfrac{1}{2}\)。
位相差の差: \(|\theta_{1} - \theta_{2}| = |30^{\circ} - 90^{\circ}| = 60^{\circ}\)。
