三相誘導電動機があり、一次巻線抵抗が \(15 \ [ \Omega ]\)、一次側に換算した二次巻線抵抗が \(9 \ [ \Omega ]\)、滑りが0.1のとき、効率 \([ \% ]\) の値として、最も近いものを次の1～5のうちから一つ選べ。
ただし、励磁電流は無視できるものとし、損失は、一次巻線による銅損と二次巻線による銅損しか存在しないものとする。
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要点
正解は(2)です。
L形等価回路（励磁回路無視）で考えます。
・一次抵抗：\(r_1 = 15 \ [ \Omega ]\)
・二次抵抗（一次換算）：\(r_2' = 9 \ [ \Omega ]\)
・滑り：\(s = 0.1\)
二次入力 \(P_2\) は、等価回路の二次側抵抗 \(r_2'/s\) で消費される電力に相当します。
\[ P_2 = 3 I^2 \dfrac{r_2'}{s} \]
一次銅損 \(P_{c1}\) は、
\[ P_{c1} = 3 I^2 r_1 \]
二次銅損 \(P_{c2}\) は、
\[ P_{c2} = s P_2 = 3 I^2 r_2' \]
出力 \(P_{out}\) は、
\[ P_{out} = (1-s) P_2 = 3 I^2 r_2' \dfrac{1-s}{s} \]
入力 \(P_{in}\) は、出力＋全損失（ここでは一次銅損＋二次銅損）なので、
\[ P_{in} = P_{c1} + P_2 = 3 I^2 \left( r_1 + \dfrac{r_2'}{s} \right) \]
効率 \(\eta\) は、
\[ \eta = \dfrac{P_{out}}{P_{in}} = \dfrac{ 3 I^2 r_2' \frac{1-s}{s} }{ 3 I^2 (r_1 + \frac{r_2'}{s}) } = \dfrac{ \frac{9(1-0.1)}{0.1} }{ 15 + \frac{9}{0.1} } = \dfrac{ \frac{8.1}{0.1} }{ 15 + 90 } = \dfrac{81}{105} \]
\[ \eta \approx 0.771 \]
よって、約77%となります。
以上より、選択肢(2)が正解です。
詳細解説
正解は(2)です。
L形等価回路（励磁回路無視）で考えます。
・一次抵抗：\(r_1 = 15 \ [ \Omega ]\)
・二次抵抗（一次換算）：\(r_2' = 9 \ [ \Omega ]\)
・滑り：\(s = 0.1\)
二次入力 \(P_2\) は、等価回路の二次側抵抗 \(r_2'/s\) で消費される電力に相当します。
\[ P_2 = 3 I^2 \dfrac{r_2'}{s} \]
一次銅損 \(P_{c1}\) は、
\[ P_{c1} = 3 I^2 r_1 \]
二次銅損 \(P_{c2}\) は、
\[ P_{c2} = s P_2 = 3 I^2 r_2' \]
出力 \(P_{out}\) は、
\[ P_{out} = (1-s) P_2 = 3 I^2 r_2' \dfrac{1-s}{s} \]
入力 \(P_{in}\) は、出力＋全損失（ここでは一次銅損＋二次銅損）なので、
\[ P_{in} = P_{c1} + P_2 = 3 I^2 \left( r_1 + \dfrac{r_2'}{s} \right) \]
効率 \(\eta\) は、
\[ \eta = \dfrac{P_{out}}{P_{in}} = \dfrac{ 3 I^2 r_2' \frac{1-s}{s} }{ 3 I^2 (r_1 + \frac{r_2'}{s}) } = \dfrac{ \frac{9(1-0.1)}{0.1} }{ 15 + \frac{9}{0.1} } = \dfrac{ \frac{8.1}{0.1} }{ 15 + 90 } = \dfrac{81}{105} \]
\[ \eta \approx 0.771 \]
よって、約77%となります。
以上より、選択肢(2)が正解です。
