問題文
図のような論理回路において、入力A、B及びCに対する出力Xの論理式、並びに入力を \(A=0\)、\(B=1\)、\(C=1\) としたときの出力Yの値として、正しい組合せを次の1～5のうちから一つ選べ。
図はタップで拡大できます。
選択肢
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(1)
\(X=\overline{A}\cdot B\cdot\overline{C}+A\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}+\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot C+A\cdot B\cdot C\) , \(Y=1\)
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(2)
\(X=\overline{A}\cdot B\cdot C+A\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}+\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot C+A\cdot B\cdot C\) , \(Y=0\)
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(3)
\(X=\overline{A}\cdot B\cdot C+A\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}+\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot C+A\cdot B\cdot\overline{C}\) , \(Y=1\)
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(4)
\(X=\overline{A}\cdot B\cdot\overline{C}+A\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}+\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot C+A\cdot B\cdot C\) , \(Y=0\)
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(5)
\(X=\overline{A}\cdot B\cdot C+\overline{A}\cdot B\cdot C+\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}+A\cdot B\cdot C\) , \(Y=1\)
**出力Xについて**
図の上側にある回路は、4つの3入力AND回路と、それらをまとめるOR回路で構成されています。
各AND回路の入力（反転の有無）を読み取ると、上から順に以下のようになります。
1. \(\overline{A} \cdot B \cdot \overline{C}\)
2. \(A \cdot \overline{B} \cdot \overline{C}\)
3. \(\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot C\)
4. \(A \cdot B \cdot C\)
出力 \(X\) はこれらの論理和となるため、以下の式で表されます。
\[ X = \overline{A} \cdot B \cdot \overline{C} + A \cdot \overline{B} \cdot \overline{C} + \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot C + A \cdot B \cdot C \]
**出力Yについて**
入力 \(A=0, B=1, C=1\) における動作を追跡します。
図の下側にある回路は、前段のNAND回路群の出力を、最終段の3入力NAND回路に入力する構成です。
この回路は全加算器の桁上げ（キャリー）出力に相当する多数決回路（\(Y = AB + BC + CA\)）と考えられ、前段のNAND回路はそれぞれ入力のペア（\(A\)と\(B\)、\(B\)と\(C\)、\(C\)と\(A\)）を受け持っていると推測されます。
ここで、\(B=1, C=1\) であることに着目します。
\(B\) と \(C\) を入力とするNAND回路の出力は、
\[ \overline{B \cdot C} = \overline{1 \cdot 1} = 0 \]
となります。
最終段のNAND回路は、入力のいずれか一つでも \(0\) であれば、出力は \(1\) となります。
したがって、他のゲートの出力に関わらず、
\[ Y = 1 \]
となります。
以上より、正しい組み合わせは(1)です。