問題文
図のように、真空中の直線上に間隔 \(r\) [m] を隔てて、点A, B, Cがあり、各点に電気量 \(Q_{A}=4\times10^{-6}\) [C], \(Q_{B}\) [C], \(Q_{C}\) [C] の点電荷を置いた。これら三つの点電荷に働く力がそれぞれ零になった。このとき、 \(Q_{B}\) [C] 及び \(Q_{C}\) [C] の値の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、真空の誘電率を \(\epsilon_{0}\) [F/m] とする。
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選択肢
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(1)
\(Q_{B} = 1\times10^{-6}\), \(Q_{C} = -4\times10^{-6}\)
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(2)
\(Q_{B} = -2\times10^{-6}\), \(Q_{C} = 8\times10^{-6}\)
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(3)
\(Q_{B} = -1\times10^{-6}\), \(Q_{C} = 4\times10^{-6}\)
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(4)
\(Q_{B} = 0\), \(Q_{C} = -1\times10^{-6}\)
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(5)
\(Q_{B} = -4\times10^{-6}\), \(Q_{C} = 1\times10^{-6}\)
クーロンの法則に基づく力の釣り合いを考えます。定数 \(k = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\) は省略します。
1. **点Cにおける力の釣り合い:**
Aからの反発力とBからの力が釣り合う必要があります。
\(\dfrac{Q_A Q_C}{(2r)^2} + \dfrac{Q_B Q_C}{r^2} = 0\)
\(Q_C \neq 0\) なので、\(\dfrac{Q_A}{4} + Q_B = 0\)
よって、\(Q_B = -\dfrac{Q_A}{4} = -\dfrac{4\times10^{-6}}{4} = -1\times10^{-6}\) [C]
2. **点Aにおける力の釣り合い:**
Bからの引力とCからの力が釣り合う必要があります。
\(\dfrac{Q_A Q_B}{r^2} + \dfrac{Q_A Q_C}{(2r)^2} = 0\)
\(Q_B + \dfrac{Q_C}{4} = 0\)
\(Q_C = -4 Q_B = -4 \times (-1\times10^{-6}) = 4\times10^{-6}\) [C]
以上より、\(Q_B = -1\times10^{-6}\) [C], \(Q_C = 4\times10^{-6}\) [C] となります。
なお、点Bでの釣り合いも確認すると、左右対称かつ電荷の大きさが等しい (\(Q_A=Q_C=4\times10^{-6}\)) ため、合力は0となります。