4 [\(\Omega\)] の抵抗と静電容量が \(C\) [F] のコンデンサを直列に接続したRC回路がある。このRC回路に、周波数 50 [Hz] の交流電圧 100 [V] の電源を接続したところ、20 [A] の電流が流れた。では、このRC回路に、周波数 60 [Hz] の交流電圧 100 [V] の電源を接続したとき、RC回路に流れる電流 [A] の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(3)。50 Hz では \(Z_{50} = 100/20 = 5 \, [\Omega]\) より、\(5 = \sqrt{4^2 + X_{C50}^2}\) から \(X_{C50} = 3 \, [\Omega]\) である。容量性リアクタンスは周波数に反比例するので、60 Hz では \(X_{C60} = 3 \times \dfrac{50}{60} = 2.5 \, [\Omega]\) となる。したがって \(Z_{60} = \sqrt{4^2 + 2.5^2} \approx 4.72 \, [\Omega]\)、電流は \(I_{60} = 100/4.72 \approx 21.2 \, [\text{A}]\) である。
詳細解説
正解は(3)です。
50Hzの場合:
インピーダンス \(Z_{50} = \dfrac{V}{I} = \dfrac{100}{20} = 5\) [\(\Omega\)]
抵抗 \(R = 4\) [\(\Omega\)] なので、リアクタンス \(X_{C50}\) は、
\(Z_{50} = \sqrt{R^2 + X_{C50}^2}\) より、
\(5 = \sqrt{4^2 + X_{C50}^2} \implies 25 = 16 + X_{C50}^2 \implies X_{C50} = 3\) [\(\Omega\)]
60Hzの場合:
容量性リアクタンス \(X_C = \dfrac{1}{2\pi f C}\) は周波数に反比例します。
\(X_{C60} = X_{C50} \times \dfrac{50}{60} = 3 \times \dfrac{5}{6} = 2.5\) [\(\Omega\)]
新しいインピーダンス \(Z_{60}\) は、
\(Z_{60} = \sqrt{4^2 + 2.5^2} = \sqrt{16 + 6.25} = \sqrt{22.25} \approx 4.717\) [\(\Omega\)]
流れる電流 \(I_{60}\) は、
\(I_{60} = \dfrac{100}{4.717} \approx 21.2\) [A]
以上より、選択肢(3)が正解です。
