問題文
図1のように、周波数 50 [Hz], 電圧 200 [V] の対称三相交流電源に、インダクタンス 7.96 [mH] のコイルと 6 [\(\Omega\)] の抵抗からなる平衡三相負荷を接続した交流回路がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
図2のように、静電容量 \(C\) [F] のコンデンサを\(\Delta\)結線し、その端子 a', b' 及び c' をそれぞれ図1の端子 a, b 及び c に接続した。その結果、三相交流電源からみた負荷の力率が1になった。静電容量 \(C\) [F] の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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選択肢
- Δ結線コンデンサを等価なY結線にすると，各相のコンデンサのインピーダンスは \(Z_C=\dfrac{1}{\mathrm{j}3\omega C}\)（すなわちアドミタンスは \(\mathrm{j}3\omega C\)）。
- 1相分で見ると，全体アドミタンスは
\[
Y=\dfrac{1}{R+\mathrm{j}\omega L}+\mathrm{j}3\omega C
\]
- 力率1 ⇔ 入力アドミタンスの虚部が0。ここで
\[
\dfrac{1}{R+\mathrm{j}\omega L}=\dfrac{R-\mathrm{j}\omega L}{R^2+(\omega L)^2}
\]
なので虚部は \(-\dfrac{\omega L}{R^2+(\omega L)^2}\)。
- よって
\[
3\omega C-\dfrac{\omega L}{R^2+(\omega L)^2}=0
\Rightarrow
C=\dfrac{L}{3\{R^2+(\omega L)^2\}}
\]
- 数値代入（\(\omega L\approx 2.5\) より \(R^2+(\omega L)^2=36+6.25=42.25\)）すると
\[
C=\dfrac{7.96\times 10^{-3}}{3\times 42.25}\approx 6.28\times 10^{-5}\,[\mathrm{F}]
\]
で、(1)が最も近い。