図は、フィードバック制御におけるブロック線図を示している。この線図において、出力 \(V_{2}\) を、入力 \(V_{1}\) 及び外乱 \(D\) を使って表現した場合、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
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(1)
\(V_{2}=\dfrac{1}{1+G_{1}G_{2}}V_{1}+\dfrac{G_{2}}{1+G_{1}G_{2}}D\)
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(2)
\(V_{2}=\dfrac{G_{2}}{1+G_{1}G_{2}}V_{1}+\dfrac{1}{1+G_{1}G_{2}}D\)
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(3)
\(V_{2}=\dfrac{G_{2}}{1+G_{1}G_{2}}V_{1}-\dfrac{1}{1+G_{1}G_{2}}D\)
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(4)
\(V_{2}=\dfrac{G_{1}}{1+G_{1}G_{2}}V_{1}-\dfrac{1}{1+G_{1}G_{2}}D\)
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(5)
\(V_{2}=\dfrac{G_{1}}{1+G_{1}G_{2}}V_{1}+\dfrac{1}{1+G_{1}G_{2}}D\)
要点
正解は(5)。ブロック線図から方程式を立てて解きます。出力 \(V_2\) の手前の加合わせ点に注目すると： これを展開して整理します。\(V_2\) を含む項を左辺に集めます。
詳細解説
ブロック線図から方程式を立てて解きます。
出力 \(V_2\) の手前の加合わせ点に注目すると：
\[ V_2 = G_1(V_1 - G_2 V_2) + D \]
これを展開して整理します。
\[ V_2 = G_1 V_1 - G_1 G_2 V_2 + D \]
\(V_2\) を含む項を左辺に集めます。
\[ V_2 + G_1 G_2 V_2 = G_1 V_1 + D \]
\[ V_2 (1 + G_1 G_2) = G_1 V_1 + D \]
\[ V_2 = \dfrac{G_1}{1 + G_1 G_2} V_1 + \dfrac{1}{1 + G_1 G_2} D \]
この式と一致するのは(5)です。
ブロック線図は、加算点の符号とフィードバック経路を左から右へ読み取るのが決め手です。出力 \(V_2\) を一度未知量のまま置き、戻り信号と外乱 \(D\) を加算点で整理してから移項すると、選択肢の形に合わせられます。
