図に示す直流回路において、抵抗 \(R_{1}=5 \Omega\) で消費される電力は抵抗 \(R_{3}=15 \Omega\) で消費される電力の何倍となるか。その倍率として、最も近い値を次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
[回路諸元]
電源電圧 2 V
直列抵抗 \(R_1 = 5 \Omega\)
並列抵抗 \(R_2 = 10 \Omega\)、 \(R_3 = 15 \Omega\)
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要点
正解は(5)。並列部分の合成抵抗 \(R_p\) は、 全抵抗 \(R_{total} = R_1 + R_p = 5 + 6 = 11 \Omega\)。全電流 \(I = \dfrac{2}{11}\) A。
詳細解説
並列部分の合成抵抗 \(R_p\) は、
\[ R_p = \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \dfrac{10 \times 15}{10 + 15} = \dfrac{150}{25} = 6 \Omega \]
全抵抗 \(R_{total} = R_1 + R_p = 5 + 6 = 11 \Omega\)。
全電流 \(I = \dfrac{2}{11}\) A。
抵抗 \(R_1\) での消費電力 \(P_1 = I^2 R_1 = \left(\dfrac{2}{11}\right)^2 \times 5\)。
並列部分にかかる電圧 \(V_p = I \times R_p = \dfrac{2}{11} \times 6 = \dfrac{12}{11}\) V。
抵抗 \(R_3\) での消費電力 \(P_3 = \dfrac{V_p^2}{R_3} = \dfrac{(\frac{12}{11})^2}{15}\)。
比率 \(\dfrac{P_1}{P_3}\) は、
\[ \dfrac{P_1}{P_3} = \dfrac{(\frac{2}{11})^2 \times 5}{\frac{(\frac{12}{11})^2}{15}} = \dfrac{4 \times 5}{144 / 15} = \dfrac{20 \times 15}{144} = \dfrac{300}{144} \approx 2.08 \]
最も近い値は 2.1 倍。
