問題文
図のように、二つのLC直列共振回路A、Bがあり、それぞれの共振周波数が \(f_{A}\) [Hz]、\(f_{B}\) [Hz] である。これらA、Bをさらに直列に接続した場合、全体としての共振周波数が \(f_{AB}\) [Hz] になった。\(f_{A}, f_{B}, f_{AB}\) の大小関係として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
回路A: \(L\) [H], \(C\) [F]
回路B: \(2L\) [H], \(C\) [F]
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選択肢
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(1)
\(f_{A} < f_{B} < f_{AB}\)
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(2)
\(f_{A} < f_{AB} < f_{B}\)
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(3)
\(f_{AB} < f_{A} < f_{B}\)
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(4)
\(f_{AB} < f_{B} < f_{A}\)
-
(5)
\(f_{B} < f_{AB} < f_{A}\)
直列共振周波数は \(f = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\) で表される。\(f \propto \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)。
- 回路A: \(L_A = L, C_A = C \Rightarrow f_A \propto \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)
- 回路B: \(L_B = 2L, C_B = C \Rightarrow f_B \propto \dfrac{1}{\sqrt{2LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} f_A \approx 0.707 f_A\)
- 回路AB（直列接続）:
インダクタンスは加算： \(L_{AB} = L + 2L = 3L\)
キャパシタンスは直列合成： \(\dfrac{1}{C_{AB}} = \dfrac{1}{C} + \dfrac{1}{C} \Rightarrow C_{AB} = \dfrac{C}{2}\)
\(f_{AB} \propto \dfrac{1}{\sqrt{3L \cdot \frac{C}{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1.5LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{1.5}} f_A \approx 0.816 f_A\)
係数を比較すると、
\(f_A\) の係数: 1
\(f_{AB}\) の係数: \(1/\sqrt{1.5} \approx 0.816\)
\(f_B\) の係数: \(1/\sqrt{2} \approx 0.707\)
よって、\(f_B < f_{AB} < f_A\) となる。