図のように、真空中において二つの小さな物体A、Bが距離 \(r\) [m] を隔てて鉛直線上に置かれている。Aは固定されており、Aの真下にBがある。物体A、Bはそれぞれ、質量 \(m_A\) [kg]、 \(m_B\) [kg] をもち、電荷 \(+q_A\) [C]、 \(-q_B\) [C] を帯びている。\(q_A > 0\)、\(q_B > 0\) とし、真空の誘電率を \(\epsilon_0\) [F/m] とする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし、小問(a)においては重力加速度 \(g\) [m/s\(^2\)] の重力を、小問(b)においては無重力を、それぞれ仮定する。物体A、Bの間の万有引力は無視する。
無重力のもとでBを下向きの初速度 \(v_B\) [m/s] で放ったとき、Bは下降を始めたが、途中で速度の向きが変わり上昇に転じた。このときの条件を表す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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(1)
\(\dfrac{1}{2}m_{B}v_{B}^{2} < \dfrac{q_{A}q_{B}}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\)
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(2)
\(\dfrac{1}{2}m_{B}v_{B}^{2} < \dfrac{q_{A}q_{B}}{4\pi\epsilon_{0}r}\)
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(3)
\(m_{B}v_{B} < \dfrac{q_{A}q_{B}}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\)
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(4)
\(m_{B}v_{B} < \dfrac{q_{A}q_{B}}{4\pi\epsilon_{0}r}\)
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(5)
\(\dfrac{1}{2}m_{B}v_{B} < \dfrac{q_{A}q_{B}}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\)
要点
正解は(2)。無重力下で下向きに初速度 \(v_B\) を与えた。クーロン引力によりBは減速し、遠くへ行くと位置エネルギーが増加する（静電気ポテンシャルエネルギーは負値であり、距離が離れると0に近づくため、数値としては増加する）。
詳細解説
無重力下で下向きに初速度 \(v_B\) を与えた。クーロン引力によりBは減速し、遠くへ行くと位置エネルギーが増加する（静電気ポテンシャルエネルギーは負値であり、距離が離れると0に近づくため、数値としては増加する）。
「途中で速度の向きが変わる（戻ってくる）」ということは、無限遠まで飛び去ることができず、ある地点で速度が0になることを意味する。これは力学的エネルギー保存則において、総エネルギーが負（束縛状態）であることを意味する（基準を無限遠で0とした場合）。
初期運動エネルギー \(K = \dfrac{1}{2}m_B v_B^2\)
初期位置エネルギー \(U = -\dfrac{q_A q_B}{4\pi\epsilon_0 r}\)
無限遠まで行けない条件は、総エネルギー \(K + U < 0\) である。
\[ \dfrac{1}{2}m_B v_B^2 - \dfrac{q_A q_B}{4\pi\epsilon_0 r} < 0 \]
\[ \dfrac{1}{2}m_B v_B^2 < \dfrac{q_A q_B}{4\pi\epsilon_0 r} \]
