図に示すRLC回路において、静電容量 \(C\) \([\text{F}]\) のコンデンサが電圧 \(V\) \([\text{V}]\) に充電されている。この状態でスイッチSを閉じて、それから時間が十分に経過してコンデンサの端子電圧が最終的に零となった。この間に抵抗 \(R\) \([\Omega]\) で消費された電気エネルギー \(W\) \([\text{J}]\) を表す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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(4)
\(\dfrac{1}{2}\dfrac{V^{2}}{R}\)
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要点
正解は(5)。最初にエネルギーをもっているのはコンデンサだけで、その値は \(\frac{1}{2}CV^2\) です。十分時間が経つとコンデンサ電圧もコイル電流も0になるので、この初期エネルギーがそのまま抵抗で消費されます。
詳細解説
この問題では、初期状態と最終状態のエネルギーを比較して、抵抗で失われる分を読むことがポイントです。
スイッチを閉じる前にコンデンサに蓄えられていたエネルギーは、
\[ W_C = \dfrac{1}{2}CV^2 \]
スイッチを閉じた後、過渡現象を経て最終的に電圧が零になると、コンデンサのエネルギーは全て放出され、回路内の抵抗で熱として消費される（コイルはエネルギーを蓄えるが、電流が零になればエネルギーは零に戻るため、最終的な消費はない）。
したがって、抵抗で消費されたエネルギーは初期の静電エネルギーに等しい。
よって、(5)が正しい。
この問題では途中の過渡波形を細かく求める必要はありません。最終的に回路中へエネルギーが残らない以上、初めにコンデンサがもっていた \(\frac{1}{2}CV^2\) がすべて抵抗で熱になると考えれば足ります。コイルは途中でエネルギーを受け取っても、最終電流が0なら保有エネルギーも0に戻る点を押さえると見通しがよくなります。
