図のように、静電容量 \( C_{1}=10~\mu\text{F} \)、\( C_{2}=900~\mu\text{F} \)、\( C_{3}=100~\mu\text{F} \)、\( C_{4}=900~\mu\text{F} \) のコンデンサからなる直並列回路がある。この回路に周波数 \( f=50 \) Hzの交流電圧 \( V_{in} \) [V]を加えたところ、\( C_{4} \) の両端の交流電圧は \( V_{out} \) [V]であった。このとき、\( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(1)です。
回路は2段階の分圧とみなせます。
1. \( C_3 \) と \( C_4 \) の合成容量: 直列接続なので、
\[ C_{34} = \dfrac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} = \dfrac{100 \times 900}{100 + 900} = 90 \, \mu\text{F} \]
2. 中間点の電圧 \( V_m \)（\( C_2 \) の両端電圧）:
回路全体で見ると、\( C_1 \) と「\( C_2 \) と \( C_{34} \) の並列合成 \( C_{par} \)」との分圧になります。
\( C_{par} = C_2 + C_{34} = 900 + 90 = 990 \, \mu\text{F} \)。
コンデンサの分圧は容量に反比例するため、
\[ V_m = V_{in} \times \dfrac{C_1}{C_1 + C_{par}} = V_{in} \times \dfrac{10}{10 + 990} = V_{in} \times \dfrac{10}{1000} = \dfrac{1}{100} V_{in} \]
3. 出力電圧 \( V_{out} \)（\( C_4 \) の両端電圧）:
電圧 \( V_m \) が \( C_3 \) と \( C_4 \) に分圧されます。
\[ V_{out} = V_m \times \dfrac{C_3}{C_3 + C_4} = V_m \times \dfrac{100}{100 + 900} = \dfrac{1}{10} V_m \]
4. 全体の比:
\[ \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{1}{100} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{1000} \]
よって正解は(1)です。
詳細解説
正解は(1)です。
回路は2段階の分圧とみなせます。
1. \( C_3 \) と \( C_4 \) の合成容量: 直列接続なので、
\[ C_{34} = \dfrac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} = \dfrac{100 \times 900}{100 + 900} = 90 \, \mu\text{F} \]
2. 中間点の電圧 \( V_m \)（\( C_2 \) の両端電圧）:
回路全体で見ると、\( C_1 \) と「\( C_2 \) と \( C_{34} \) の並列合成 \( C_{par} \)」との分圧になります。
\( C_{par} = C_2 + C_{34} = 900 + 90 = 990 \, \mu\text{F} \)。
コンデンサの分圧は容量に反比例するため、
\[ V_m = V_{in} \times \dfrac{C_1}{C_1 + C_{par}} = V_{in} \times \dfrac{10}{10 + 990} = V_{in} \times \dfrac{10}{1000} = \dfrac{1}{100} V_{in} \]
3. 出力電圧 \( V_{out} \)（\( C_4 \) の両端電圧）:
電圧 \( V_m \) が \( C_3 \) と \( C_4 \) に分圧されます。
\[ V_{out} = V_m \times \dfrac{C_3}{C_3 + C_4} = V_m \times \dfrac{100}{100 + 900} = \dfrac{1}{10} V_m \]
4. 全体の比:
\[ \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{1}{100} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{1000} \]
よって正解は(1)です。
