問題文
ブラウン管は電子銃、偏向板、蛍光面などから構成される真空管であり、オシロスコープの表示装置として用いられる。図のように、電荷 \( -e \) [C] をもつ電子が電子銃から一定の速度 \( v \) [m/s] で \( z \) 軸に沿って発射される。電子は偏向板の中を通過する間、\( x \) 軸に平行な平等電界 \( E \) [V/m] から静電力 \( -eE \) [N] を受け、\( x \) 方向の速度成分 \( u \) [m/s] を与えられ進路を曲げられる。偏向板を通過後の電子は \( z \) 軸と \( \tan \theta = \dfrac{u}{v} \) となる角度 \( \theta \) をなす方向に直進して蛍光面に当たり、その点を発光させる。このとき発光する点は蛍光面の中心点から \( x \) 方向に距離 \( X \) [m] だけシフトした点となる。
\( u \) と \( X \) を表す式の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、電子の静止質量を \( m \) [kg]、偏向板の \( z \) 方向の大きさを \( l \) [m]、偏向板の中心から蛍光面までの距離を \( d \) [m] とし、\( l \ll d \) と仮定してよい。また、速度は光速に比べて十分小さいものとする。
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選択肢
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(1)
\( u: \dfrac{elE}{mv} \), \( X: \dfrac{2eldE}{mv^{2}} \)
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(2)
\( u: \dfrac{elE^{2}}{mv} \), \( X: \dfrac{2eldE}{mv^{2}} \)
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(3)
\( u: \dfrac{elE}{mv^{2}} \), \( X: \dfrac{eldE^{2}}{mv} \)
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(4)
\( u: \dfrac{elE^{2}}{mv^{2}} \), \( X: \dfrac{eldE}{mv} \)
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(5)
\( u: \dfrac{elE}{mv} \), \( X: \dfrac{eldE}{mv^{2}} \)
1. **\( u \) の導出**:
電子が偏向板（長さ \( l \)）を通過する時間 \( t \) は \( t = \dfrac{l}{v} \) です。
電界 \( E \) による加速度 \( a \) は、運動方程式 \( ma = eE \) より \( a = \dfrac{eE}{m} \) です。
通過後の \( x \) 方向の速度 \( u \) は、\( u = at = \dfrac{eE}{m} \cdot \dfrac{l}{v} = \dfrac{elE}{mv} \) となります。
2. **\( X \) の導出**:
問題文より \( \tan \theta = \dfrac{u}{v} \) です。
また、図何的関係と \( l \ll d \) の仮定（偏向板の中心から直線的に飛んでいく近似）より、\( X = d \tan \theta \) と表せます。
\( X = d \cdot \dfrac{u}{v} = d \cdot \dfrac{1}{v} \cdot \dfrac{elE}{mv} = \dfrac{eldE}{mv^{2}} \)。
よって、組合せとして正しいのは(5)です。