問題文
水力発電所の理論水力 \(P\) は位置エネルギーの式から \(P=\rho gQH\) と表される。
ここで \(H\) [m] は有効落差, \(Q\) [\(m^{3}/s\)] は流量, \(g\) は重力加速度 \(g=9.8{m/s}^{2}\), \(\rho\) は水の密度 \(\rho=1~000~kg/m^{3}\) である。以下に理論水力 \(P\) の単位を検証することとする。なお、Paは「パスカル」、Nは「ニュートン」、Wは「ワット」、Jは「ジュール」である。
\(P=\rho gQH\) の単位は \(\rho, g, Q, H\) の単位の積であるから, \(kg/m^{3} \cdot m/s^{2} \cdot m^{3}/s \cdot m\) となる。これを変形すると、
(ア) \(\cdot m/s\) となるが、(ア) は力の単位 (イ) と等しい。すなわち \(P=\rho gQH\) の単位は (イ) \(\cdot m/s\) となる。ここで (イ) \(\cdot m\) は仕事(エネルギー) の単位である (ウ) と等しいことから \(P=\rho g~QH\) の単位は (ウ) /sと表せ、これは仕事率(動力)の単位である (エ) と等しい。ゆえに、理論水力 \(P=\rho gQH\) の単位は (エ) となるが、重力加速度 \(g=9.8{m/s}^{2}\) と水の密度 \(\rho=1000~kg/m^{3}\) の数値 \(9.8 \times 1~000\) を考慮すると \(P=9.8QH\) [ (オ) ]と表せる。
上記の記述中の空白箇所(ア), (イ), (ウ), (エ)及び(オ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
選択肢
\[
[\rho gQH]=\mathrm{\dfrac{kg}{m^{3}}}\cdot \mathrm{\dfrac{m}{s^{2}}}\cdot \mathrm{\dfrac{m^{3}}{s}}\cdot \mathrm{m}
=\mathrm{\dfrac{kg\cdot m^{2}}{s^{3}}}
\]
これを \(\mathrm{\dfrac{kg\cdot m}{s^{2}}}\cdot \mathrm{\dfrac{m}{s}}\) と見れば，\(\fbox{（ア）}=\mathrm{kg\cdot m/s^{2}}\)。これは力の単位 \(\mathrm{N}\) なので \(\fbox{（イ）}=\mathrm{N}\)。
また \(\mathrm{N\cdot m}\) は仕事（エネルギー）\(\mathrm{J}\) に等しいから \(\fbox{（ウ）}=\mathrm{J}\)，さらに \(\mathrm{J/s}\) は仕事率 \(\mathrm{W}\) なので \(\fbox{（エ）}=\mathrm{W}\)。
最後に \(\rho=1000\)，\(g=9.8\) より
\[
P=\rho gQH=1000\times 9.8 QH\ [\mathrm{W}]=9.8QH\ [\mathrm{kW}]
\]
となり \(\fbox{（オ）}=\mathrm{kW}\)。以上より組合せは(5)。