2016年度 電験3種 上期 - 理論 - 問9 2016年度 理論 問9

並列部分（\(C\) と \(L_2\)）が並列共振するとき、並列部分のインピーダンスは無限大となり、回路全体のインピーダンスも極大となります。
並列共振角周波数 \(\omega_2\) は、
\[ \omega_2 = \dfrac{1}{\sqrt{L_2 C}} = \dfrac{1}{\sqrt{0.2\times10^{-3} \times 8\times10^{-6}}} = \dfrac{1}{\sqrt{16\times10^{-10}}} = \dfrac{1}{4\times10^{-5}} = 2.5\times10^4 \text{ [rad/s]} \]

直列共振（回路全体のリアクタンスが0になる）のとき、インピーダンスは最小（抵抗 \(R\) のみ）となります。
回路の合成リアクタンス \(X\) は、
\[ X = \omega L_1 - \dfrac{1}{\omega C - \frac{1}{\omega L_2}} \]
\(X=0\) となる条件より、
\[ \omega L_1 = \dfrac{\omega L_2}{\omega^2 L_2 C - 1} \Rightarrow \omega L_1 (\omega^2 L_2 C - 1) = \omega L_2 \]
\[ \omega^2 L_1 L_2 C - L_1 = L_2 \Rightarrow \omega^2 = \dfrac{L_1 + L_2}{L_1 L_2 C} \]
これを計算すると、
\[ \omega_1 = \sqrt{\dfrac{0.4\times10^{-3} + 0.2\times10^{-3}}{0.4\times10^{-3} \times 0.2\times10^{-3} \times 8\times10^{-6}}} = \sqrt{\dfrac{0.6\times10^{-3}}{0.64\times10^{-12}}} = \sqrt{\dfrac{60}{64}\times10^8} \approx \sqrt{0.9375}\times10^4 \approx 3.06\times10^4 \]
したがって、\(\omega_1 \approx 3.1\times10^4\) [rad/s] となります。