図のように、 \(R=1 \Omega\) の抵抗、インダクタンス \(L_{1}=0.4\) mH, \(L_{2}=0.2\) mH のコイル、及び静電容量 \(C=8 \mu\)F のコンデンサからなる直並列回路がある。この回路に交流電圧 \(V=100\) V を加えたとき、回路のインピーダンスが極めて小さくなる直列共振角周波数の値 \(\omega_1\) [rad/s] 及び回路のインピーダンスが極めて大きくなる並列共振角周波数の値 \(\omega_2\) [rad/s] の組合せとして、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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(1)
\(\omega_1 = 2.5\times10^{4}\), \(\omega_2 = 3.5\times10^{3}\)
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(2)
\(\omega_1 = 2.5\times10^{4}\), \(\omega_2 = 3.1\times10^{4}\)
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(3)
\(\omega_1 = 3.5\times10^{3}\), \(\omega_2 = 2.5\times10^{4}\)
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(4)
\(\omega_1 = 3.1\times10^{4}\), \(\omega_2 = 3.5\times10^{3}\)
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(5)
\(\omega_1 = 3.1\times10^{4}\), \(\omega_2 = 2.5\times10^{4}\)
要点
正解は(5)。直列共振（回路全体のリアクタンスが0になる）のとき、インピーダンスは最小（抵抗 \(R\) のみ）となります。回路の合成リアクタンス \(X\) は、 \(X=0\) となる条件より、 これを計算すると、 したがって、\(\omega_1 \approx 3.1\times10^4\) [rad/s] となります。
詳細解説
並列部分（\(C\) と \(L_2\)）が並列共振するとき、並列部分のインピーダンスは無限大となり、回路全体のインピーダンスも極大となります。
並列共振角周波数 \(\omega_2\) は、
\[ \omega_2 = \dfrac{1}{\sqrt{L_2 C}} = \dfrac{1}{\sqrt{0.2\times10^{-3} \times 8\times10^{-6}}} = \dfrac{1}{\sqrt{16\times10^{-10}}} = \dfrac{1}{4\times10^{-5}} = 2.5\times10^4 \text{ [rad/s]} \]
直列共振（回路全体のリアクタンスが0になる）のとき、インピーダンスは最小（抵抗 \(R\) のみ）となります。
回路の合成リアクタンス \(X\) は、
\[ X = \omega L_1 - \dfrac{1}{\omega C - \frac{1}{\omega L_2}} \]
\(X=0\) となる条件より、
\[ \omega L_1 = \dfrac{\omega L_2}{\omega^2 L_2 C - 1} \Rightarrow \omega L_1 (\omega^2 L_2 C - 1) = \omega L_2 \]
\[ \omega^2 L_1 L_2 C - L_1 = L_2 \Rightarrow \omega^2 = \dfrac{L_1 + L_2}{L_1 L_2 C} \]
これを計算すると、
\[ \omega_1 = \sqrt{\dfrac{0.4\times10^{-3} + 0.2\times10^{-3}}{0.4\times10^{-3} \times 0.2\times10^{-3} \times 8\times10^{-6}}} = \sqrt{\dfrac{0.6\times10^{-3}}{0.64\times10^{-12}}} = \sqrt{\dfrac{60}{64}\times10^8} \approx \sqrt{0.9375}\times10^4 \approx 3.06\times10^4 \]
したがって、\(\omega_1 \approx 3.1\times10^4\) [rad/s] となります。
