図のように、十分大きい平らな金属板で覆われた床と平板電極とで作られる空気コンデンサが二つ並列接続されている。二つの電極は床と平行であり、それらの面積は左側が \(A_{1}=10^{-3}\text{ m}^{2}\) 右側が \(A_{2}=10^{-2}\text{ m}^{2}\) である。床と各電極の間隔は左側が \(d=10^{-3}\) m で固定、右側が \(x\) [m] で可変、直流電源電圧は \(V_{0}=1000\) V である。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし、空気の誘電率を \(\epsilon=8.85\times10^{-12}\) F/m とし、静電容量を考える際にコンデンサの端効果は無視できるものとする。
まず、右側の \(x\) [m] を \(d\) [m] と設定し、スイッチSを一旦閉じてから開いた。このとき、二枚の電極に蓄えられる合計電荷 \(Q\) の値 [C] として最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(3)。合計電荷は約 \(9.735\times10^{-8}\) C です。
初期状態（\(x=d\)）での静電容量を求めます。
左側 \(C_1 = \dfrac{\epsilon A_1}{d} = \dfrac{8.85\times10^{-12} \times 10^{-3}}{10^{-3}} = 8.85\times10^{-12}\) F
右側 \(C_2 = \dfrac{\epsilon A_2}{d} = \dfrac{8.85\times10^{-12} \times 10^{-2}}{10^{-3}} = 88.5\times10^{-12}\) F
並列合成容量 \(C_{total} = C_1 + C_2 = (8.85 + 88.5)\times10^{-12} = 97.35\times10^{-12}\) F
蓄えられる合計電荷 \(Q\) は、
\[ Q = C_{total} V_0 = 97.35\times10^{-12} \times 1000 \approx 9.735\times10^{-8} \text{ [C]} \]
詳細解説
初期状態（\(x=d\)）での静電容量を求めます。
左側 \(C_1 = \dfrac{\epsilon A_1}{d} = \dfrac{8.85\times10^{-12} \times 10^{-3}}{10^{-3}} = 8.85\times10^{-12}\) F
右側 \(C_2 = \dfrac{\epsilon A_2}{d} = \dfrac{8.85\times10^{-12} \times 10^{-2}}{10^{-3}} = 88.5\times10^{-12}\) F
並列合成容量 \(C_{total} = C_1 + C_2 = (8.85 + 88.5)\times10^{-12} = 97.35\times10^{-12}\) F
蓄えられる合計電荷 \(Q\) は、
\[ Q = C_{total} V_0 = 97.35\times10^{-12} \times 1000 \approx 9.735\times10^{-8} \text{ [C]} \]
