図のように、十分大きい平らな金属板で覆われた床と平板電極とで作られる空気コンデンサが二つ並列接続されている。二つの電極は床と平行であり、それらの面積は左側が \(A_{1}=10^{-3}\text{ m}^{2}\) 右側が \(A_{2}=10^{-2}\text{ m}^{2}\) である。床と各電極の間隔は左側が \(d=10^{-3}\) m で固定、右側が \(x\) [m] で可変、直流電源電圧は \(V_{0}=1000\) V である。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし、空気の誘電率を \(\epsilon=8.85\times10^{-12}\) F/m とし、静電容量を考える際にコンデンサの端効果は無視できるものとする。
上記(a)の操作の後、徐々に \(x\) を増していったところ、 \(x=3.0\times10^{-3}\) m のときに左側の電極と床との間に火花放電が生じた。左側のコンデンサの空隙の絶縁破壊電圧 \(V\) の値 [V] として最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(2)。スイッチが開かれているため、電荷 \(Q\) は保存されます。\(x = 3.0\times10^{-3}\) m のときの右側の静電容量 \(C_2'\) は、 左側 \(C_1\) は変化しません。
詳細解説
スイッチが開かれているため、電荷 \(Q\) は保存されます。
\(x = 3.0\times10^{-3}\) m のときの右側の静電容量 \(C_2'\) は、
\[ C_2' = \dfrac{\epsilon A_2}{x} = \dfrac{8.85\times10^{-12} \times 10^{-2}}{3.0\times10^{-3}} = \dfrac{88.5}{3} \times 10^{-12} = 29.5\times10^{-12} \text{ [F]} \]
左側 \(C_1\) は変化しません。
新しい合成容量 \(C_{total}' = C_1 + C_2' = (8.85 + 29.5)\times10^{-12} = 38.35\times10^{-12}\) F
このときの端子電圧 \(V'\) は、
\[ V' = \dfrac{Q}{C_{total}'} = \dfrac{97.35\times10^{-8}}{38.35\times10^{-12}} = \dfrac{97.35}{38.35} \times 10^3 \approx 2538 \text{ [V]} \]
この電圧で火花放電が生じたので、絶縁破壊電圧は約 \(2.5\times10^3\) V です。
