問題文
極板の面積 \( S \, [\mathrm{m}^2] \)、極板間の距離 \( d \, [\mathrm{m}] \) の平行板コンデンサA、極板の面積 \( 2S \, [\mathrm{m}^2] \)、極板間の距離 \( d \, [\mathrm{m}] \) の平行板コンデンサB及び極板の面積 \( S \, [\mathrm{m}^2] \)、極板間の距離 \( 2d \, [\mathrm{m}] \) の平行板コンデンサCがある。各コンデンサは、極板間の電界の強さが同じ値となるようにそれぞれ直流電源で充電されている。各コンデンサをそれぞれの直流電源から切り離した後、全コンデンサを同じ極性で並列に接続し、十分時間が経ったとき、各コンデンサに蓄えられる静電エネルギーの総和の値 \( [\mathrm{J}] \) は、並列に接続する前の総和の値 \( [\mathrm{J}] \) の何倍になるか。その倍率として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、各コンデンサの極板間の誘電率は同一であり、端効果は無視できるものとする。
図はタップで拡大できます。
選択肢
真空の誘電率を \( \varepsilon \) とします。
各コンデンサの静電容量は以下の通りです。
\( C_A = \dfrac{\varepsilon S}{d} = C \) と置く。
\( C_B = \dfrac{\varepsilon (2S)}{d} = 2C \)
\( C_C = \dfrac{\varepsilon S}{2d} = 0.5C \)
電界の強さ \( E \) が同じなので、各コンデンサの電圧 \( V \) は \( V = Ed \) より、
\( V_A = Ed = V \) と置く。
\( V_B = Ed = V \)
\( V_C = E(2d) = 2V \)
接続前の総電荷 \( Q_{total} \) と総エネルギー \( W_{before} \):
\( Q_A = CV \), \( Q_B = 2CV \), \( Q_C = 0.5C \times 2V = CV \)
\( Q_{total} = Q_A + Q_B + Q_C = 4CV \)
\( W_A = \dfrac{1}{2}CV^2 \), \( W_B = \dfrac{1}{2}(2C)V^2 = CV^2 \), \( W_C = \dfrac{1}{2}(0.5C)(2V)^2 = CV^2 \)
\( W_{before} = W_A + W_B + W_C = 2.5CV^2 \)
並列接続後の静電容量 \( C_{total} \) と電圧 \( V' \):
\( C_{total} = C_A + C_B + C_C = C + 2C + 0.5C = 3.5C \)
電荷保存則より \( Q_{total} = 4CV \) は変わらないため、
\( V' = \dfrac{Q_{total}}{C_{total}} = \dfrac{4CV}{3.5C} = \dfrac{8}{7}V \)
接続後の総エネルギー \( W_{after} \):
\( W_{after} = \dfrac{1}{2} C_{total} (V')^2 = \dfrac{1}{2} (3.5C) \left( \dfrac{8}{7}V \right)^2 = \dfrac{7}{4}C \cdot \dfrac{64}{49}V^2 = \dfrac{16}{7}CV^2 \approx 2.286 CV^2 \)
倍率:
\( \dfrac{W_{after}}{W_{before}} = \dfrac{\frac{16}{7}CV^2}{2.5CV^2} = \dfrac{16}{7 \times 2.5} = \dfrac{16}{17.5} \approx 0.914 \)
...計算を再確認します。
\( W_{after} = \dfrac{Q_{total}^2}{2 C_{total}} = \dfrac{(4CV)^2}{2 \times 3.5C} = \dfrac{16C^2V^2}{7C} = \dfrac{16}{7}CV^2 \)
\( W_{before} = 2.5CV^2 = \dfrac{5}{2}CV^2 \)
\( \dfrac{16/7}{5/2} = \dfrac{32}{35} \approx 0.914 \)
計算結果は0.91となります。
よって正解は(2)です。