2017年度 電験3種 上期 - 理論 - 問2 2017年度 理論 問2

真空の誘電率を \( \varepsilon \) とします。
各コンデンサの静電容量は以下の通りです。
\( C_A = \dfrac{\varepsilon S}{d} = C \) と置く。
\( C_B = \dfrac{\varepsilon (2S)}{d} = 2C \)
\( C_C = \dfrac{\varepsilon S}{2d} = 0.5C \)

電界の強さ \( E \) が同じなので、各コンデンサの電圧 \( V \) は \( V = Ed \) より、
\( V_A = Ed = V \) と置く。
\( V_B = Ed = V \)
\( V_C = E(2d) = 2V \)

接続前の総電荷 \( Q_{total} \) と総エネルギー \( W_{before} \):
\( Q_A = CV \), \( Q_B = 2CV \), \( Q_C = 0.5C \times 2V = CV \)
\( Q_{total} = Q_A + Q_B + Q_C = 4CV \)

\( W_A = \dfrac{1}{2}CV^2 \), \( W_B = \dfrac{1}{2}(2C)V^2 = CV^2 \), \( W_C = \dfrac{1}{2}(0.5C)(2V)^2 = CV^2 \)
\( W_{before} = W_A + W_B + W_C = 2.5CV^2 \)

並列接続後の静電容量 \( C_{total} \) と電圧 \( V' \):
\( C_{total} = C_A + C_B + C_C = C + 2C + 0.5C = 3.5C \)
電荷保存則より \( Q_{total} = 4CV \) は変わらないため、
\( V' = \dfrac{Q_{total}}{C_{total}} = \dfrac{4CV}{3.5C} = \dfrac{8}{7}V \)

接続後の総エネルギー \( W_{after} \):
\( W_{after} = \dfrac{1}{2} C_{total} (V')^2 = \dfrac{1}{2} (3.5C) \left( \dfrac{8}{7}V \right)^2 = \dfrac{7}{4}C \cdot \dfrac{64}{49}V^2 = \dfrac{16}{7}CV^2 \approx 2.286 CV^2 \)

倍率:
\( \dfrac{W_{after}}{W_{before}} = \dfrac{\frac{16}{7}CV^2}{2.5CV^2} = \dfrac{16}{7 \times 2.5} = \dfrac{16}{17.5} \approx 0.914 \)

...計算を再確認します。
\( W_{after} = \dfrac{Q_{total}^2}{2 C_{total}} = \dfrac{(4CV)^2}{2 \times 3.5C} = \dfrac{16C^2V^2}{7C} = \dfrac{16}{7}CV^2 \)
\( W_{before} = 2.5CV^2 = \dfrac{5}{2}CV^2 \)
\( \dfrac{16/7}{5/2} = \dfrac{32}{35} \approx 0.914 \)
計算結果は0.91となります。

よって正解は(2)です。