図のような直流回路において、スイッチSを閉じているとき、\(2\Omega\) の抵抗を流れる電流は、スイッチSを開いたときの電流の3倍であった。\(R\) の値 \([\Omega]\) として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(1)。スイッチ開放時と閉路時で、2\(\Omega\) 抵抗と直列になる合成抵抗がどう変わるかを比べる問題です。閉路時は 10\(\Omega\) と \(R\) が並列になるので、その合成抵抗を使って電流比3倍の条件を立てれば \(R=2.5\Omega\) と求まります。
詳細解説
この問題では、開放時と閉路時で右側の回路がどう合成されるかを整理することがポイントです。
スイッチ開放時の電流 \(I_{\text{off}}\) は、
\[ I_{\text{off}} = \dfrac{E}{2 + 10} = \dfrac{E}{12} \]
スイッチ閉路時の電流 \(I_{\text{on}}\) は、\(10\Omega\) と \(R\) の並列合成抵抗 \(R_p = \dfrac{10R}{10+R}\) を用いて、
\[ I_{\text{on}} = \dfrac{E}{2 + R_p} \]
条件より \(I_{\text{on}} = 3 I_{\text{off}}\) なので、
\[ \dfrac{E}{2 + R_p} = 3 \times \dfrac{E}{12} = \dfrac{E}{4} \]
\[ 2 + R_p = 4 \rightarrow R_p = 2 \]
\[ \dfrac{10R}{10+R} = 2 \rightarrow 10R = 20 + 2R \rightarrow 8R = 20 \rightarrow R = 2.5 [\Omega] \]
よって、(1)が正しい。
