問題文
次の文章は、帯電した導体球に関する記述である。
真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率を \(\epsilon_{0}\) [F/m]、重力加速度を \(g\) [m/s²] とする。A及びBは同じ大きさと質量 \(m\) [kg] をもつ。糸の長さは各導体球の中心点がO点から距離 \(l\) [m] となる長さである。
まず、導体球A及びBにそれぞれ電荷 \(Q\) [C] 及び \(3Q\) [C] を与えて帯電させたところ、静電力による (ア) が生じ、図のようにA及びBの中心点間が \(d\) [m] 離れた状態で釣り合った。ただし、導体球の直径は \(d\) に比べて十分に小さいとする。このとき、個々の導体球において、静電力 \(F=\) (イ) [N]、重力 \(mg\) [N]、糸の張力 \(T\) [N]、の三つの力が釣り合っている。三平方の定理より \(F^{2}+(mg)^{2}=T^{2}\) が成り立ち、張力の方向を考えると \(\dfrac{F}{T}\) は \(\dfrac{d}{2l}\) に等しい。これらより \(T\) を消去し整理すると、\(d\) が満たす式として、
\[ k\left(\dfrac{d}{2l}\right)^{3}=\sqrt{1-\left(\dfrac{d}{2l}\right)^{2}} \]
が導かれる。ただし、係数 \(k=\) (ウ) である。
次に、AとBとを一旦接触させたところAB間で電荷が移動し、同電位となった。そしてAとBとが力の釣合いの位置に戻った。接触前に比べ、距離 \(d\) は (エ) した。
上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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選択肢
-
(1)
(ア)
\(\dfrac{3Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{16\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{3Q^{2}}\)
-
(2)
(ア)
\(\dfrac{Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{4\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{Q^{2}}\)
-
(3)
(ア)
\(\dfrac{3Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{4\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{Q^{2}}\)
-
(4)
(ア)
\(\dfrac{Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{16\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{3Q^{2}}\)
-
(5)
(ア)
\(\dfrac{Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{4\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{Q^{2}}\)
(ア) 電荷は同符号（プラス同士と仮定、あるいは文脈から同種電荷）であるため、**反発力**が生じる。
(イ) クーロンの法則より、\(F = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q_A Q_B}{d^2}\) である。\(Q_A=Q, Q_B=3Q\) とすると、\(F = \dfrac{3Q^2}{4\pi\epsilon_0 d^2}\) となる。
(ウ) 力のつり合いより \(\tan\theta = \dfrac{F}{mg}\)。幾何学的関係から \(\tan\theta = \dfrac{d/2}{\sqrt{l^2-(d/2)^2}} = \dfrac{d/2l}{\sqrt{1-(d/2l)^2}}\)。
これらを整理して \(k\) を求めると、\(k = \dfrac{16\pi\epsilon_0 l^2 mg}{3Q^2}\) となる。
(エ) 接触させると電荷が保存され再分配される。合計電荷 \(4Q\) が等しく分配され、各 \(2Q\) となる。力の比例係数は接触前 \(1\times3=3\) から接触後 \(2\times2=4\) になり、反発力が増加するため距離は**増加**する。