（選択問題）
空気 (比誘電率 1) で満たされた極板間距離 \(5d\) [m] の平行板コンデンサがある。図のように、一方の極板と大地との間に電圧 \(V_0\) [V] の直流電源を接続し、極板と同形同面積で厚さ \(4d\) [m] の固体誘電体 (比誘電率 4) を極板と接するように挿入し、他方の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。
\(V_0=10\) kV, \(d=1\) mm とし、比誘電率 4 の固体誘電体を比誘電率 \(\epsilon_r\) の固体誘電体に差し替え、空気ギャップの電界の強さが 2.5 kV/mm となったとき、\(\epsilon_r\) の値として最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
図はタップで拡大できます。
回答を選ぶ
選択肢を押すと、すぐに結果が表示されます。
要点
正解は(3)。直列分圧より境界面の電位は \(V'=\dfrac{C_{\mathrm{r}}'}{C_{\mathrm{r}}'+C_{0}}V_{0}=\dfrac{\varepsilon_{\mathrm{r}}}{\varepsilon_{\mathrm{r}}+4}V_{0}\)。
詳細解説
直列分圧より境界面の電位は
\(V'=\dfrac{C_{\mathrm{r}}'}{C_{\mathrm{r}}'+C_{0}}V_{0}=\dfrac{\varepsilon_{\mathrm{r}}}{\varepsilon_{\mathrm{r}}+4}V_{0}\)。
また電界 \(E\) と電圧は \(V'=Ed\) なので与条件を代入して \(\varepsilon_{\mathrm{r}}\approx 1.33\)。最も近いのは(3)。
特にコンデンサの問題では、接続前後で一定なのが電圧なのか電荷なのかを最初に決めることが重要です。合成容量を求めたあとに保存量との関係を確認すると、式の選び違いを防げます。
選択肢の値が近いときほど、途中で求めた共通電圧や全電荷が何を意味しているかを見直すと、最後の取り違えを減らせます。
電位分布の図では、誘電体部と空気部で電界の傾きが変わる点を読み取ります。直列コンデンサとして見れば電束密度は共通なので、比誘電率が大きい誘電体中では傾きが小さく、空気ギャップ側で傾きが大きくなります。
