界磁磁束を一定に保った直流電動機において、\(0.5 \Omega\)の抵抗値をもつ電機子巻線と直列に始動抵抗(可変抵抗)が接続されている。この電動機を内部抵抗が無視できる電圧 \(200 \text{V}\)の直流電源に接続した。静止状態で電源に接続した直後の電機子電流は\(100 \text{A}\)であった。
この電動機の始動後、徐々に回転速度が上昇し、電機子電流が\(50 \text{A}\)まで減少した。トルクも半分に減少したので、電機子電流を\(100 \text{A}\)に増やすため、直列可変抵抗の抵抗値を\(R_1 [\Omega]\) から \(R_2 [\Omega]\)に変化させた。\(R_1\)及び\(R_2\)の値の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、ブラシによる電圧降下、始動抵抗を調整する間の速度変化、電機子反作用及びインダクタンスの影響は無視できるものとする。
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(1)
\(R_1 = 2.0, \quad R_2 = 1.0\)
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(2)
\(R_1 = 4.0, \quad R_2 = 2.0\)
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(3)
\(R_1 = 1.5, \quad R_2 = 1.0\)
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(4)
\(R_1 = 1.5, \quad R_2 = 0.5\)
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(5)
\(R_1 = 3.5, \quad R_2 = 1.5\)
要点
正解は(4)。次に、回転数が上昇し電流が\(50 \text{A}\)になった状態（状態2）での逆起電力\(E\)を求める。この状態で抵抗を\(R_2\)に変更し、電流を\(100 \text{A}\)にする（状態3）。
詳細解説
まず、始動時の回路条件から\(R_1\)を求める。
始動時は逆起電力\(E = 0\)であるため、オームの法則より、
\[
200 = (0.5 + R_1) \times 100
\]
\[
2 = 0.5 + R_1 \quad \therefore R_1 = 1.5 \, [\Omega]
\]
次に、回転数が上昇し電流が\(50 \text{A}\)になった状態（状態2）での逆起電力\(E\)を求める。
\[
200 = E + (0.5 + 1.5) \times 50
\]
\[
200 = E + 100 \quad \therefore E = 100 \, [\text{V}]
\]
この状態で抵抗を\(R_2\)に変更し、電流を\(100 \text{A}\)にする（状態3）。速度変化は無視できるため\(E = 100 \text{V}\)のままである。
\[
200 = 100 + (0.5 + R_2) \times 100
\]
\[
100 = (0.5 + R_2) \times 100
\]
\[
1 = 0.5 + R_2 \quad \therefore R_2 = 0.5 \, [\Omega]
\]
よって、\(R_1 = 1.5, R_2 = 0.5\)となる。
