定格容量\(P [\text{kV}\cdot\text{A}]\)、定格電圧 \(V [\text{V}]\)の星形結線の三相同期発電機がある。電機子電流が定格電流の\(40 \%\)、負荷力率が遅れ \(86.6 \%\) (\(\cos 30^\circ=0.866\))、定格電圧でこの発電機を運転している。このときのベクトル図を描いて、負荷角 \(\delta\) の値\([^\circ]\)として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、この発電機の電機子巻線の1相当たりの同期リアクタンスは単位法で \(0.915 \text{p.u.}\)、1相当たりの抵抗は無視できるものとし、同期リアクタンスは磁気飽和等に影響されず一定であるとする。
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要点
正解は(2)。単位法を用いて計算する。端子電圧 \(\dot{V} = 1.0 \angle 0^\circ\) [p.u.] 電流 \(\dot{I} = 0.4 \angle -30^\circ\) [p.u.] （遅れ力率） 同期リアクタンス \(x_s = 0.915\) [p.u.] 誘導起電力 \(\dot{E}\) は次式で表される。
詳細解説
単位法を用いて計算する。
端子電圧 \(\dot{V} = 1.0 \angle 0^\circ\) [p.u.]
電流 \(\dot{I} = 0.4 \angle -30^\circ\) [p.u.] （遅れ力率）
同期リアクタンス \(x_s = 0.915\) [p.u.]
誘導起電力 \(\dot{E}\) は次式で表される。
\[
\dot{E} = \dot{V} + j x_s \dot{I}
\]
\[
\dot{I} = 0.4 (\cos 30^\circ - j \sin 30^\circ) = 0.4 (0.866 - j0.5) = 0.3464 - j0.2
\]
\[
j x_s \dot{I} = j 0.915 (0.3464 - j0.2) = j0.31696 + 0.915 \times 0.2 = 0.183 + j0.317
\]
\[
\dot{E} = 1.0 + (0.183 + j0.317) = 1.183 + j0.317
\]
負荷角 \(\delta\) は \(\dot{E}\) の偏角であるため、
\[
\tan \delta = \dfrac{0.317}{1.183} \approx 0.268
\]
\(\tan 15^\circ \approx 0.268\) であるため、\(\delta \approx 15^\circ\) となる。
ベクトル図では、端子電圧を基準にして、遅れ力率の電流を30度遅れに置き、\(jx_s\dot{I}\) を90度進めて加えるのが決め手です。誘導起電力ベクトルの偏角を読めば、そのまま負荷角 \(\delta\) になります。
