問題文
図のようなブロック線図で示す制御系がある。出力信号\(C(j\omega)\)の入力信号\(R(j\omega)\)に対する比、すなわち \(\dfrac{C(j\omega)}{R(j\omega)}\) を示す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
図はタップで拡大できます。
選択肢
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(1)
\(\dfrac{T_1 + j\omega}{T_2 + j\omega}\)
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(2)
\(\dfrac{T_2 + j\omega}{T_1 + j\omega}\)
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(3)
\(\dfrac{j\omega T_1}{1 + j\omega T_2}\)
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(4)
\(\dfrac{1 + j\omega T_1}{1 + j\omega T_2}\)
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(5)
\(\dfrac{1 + j\omega \frac{T_1}{T_2}}{1 + j\omega T_2}\)
ブロック線図の構成を読み解くと以下の通りとなる。
入力\(R\)からフィードバック信号を引いた偏差信号が、並列に接続された2つのブロック（上側：\(T_1/T_2\)、下側：\(1/(j\omega T_2)\)）に入力される。
しかし、フィードバックループの取り出し位置が、下側の積分器ブロック \(1/(j\omega T_2)\) の出力点から戻されている。
一方、全体の出力 \(C\) は、上側ブロックの出力と下側ブロックの出力の和となっている。
内部信号を \(X\) （偏差信号後のノード）とすると、
下側ブロックの出力 \(Y = X \cdot \dfrac{1}{j\omega T_2}\)
フィードバック信号は \(Y\) なので、
\(X = R - Y = R - \dfrac{X}{j\omega T_2}\)
これより \(X (1 + \dfrac{1}{j\omega T_2}) = R \Rightarrow X \dfrac{1+j\omega T_2}{j\omega T_2} = R \Rightarrow X = R \dfrac{j\omega T_2}{1+j\omega T_2}\)
出力 \(C\) は、
\(C = X \cdot \dfrac{T_1}{T_2} + Y = X \left( \dfrac{T_1}{T_2} + \dfrac{1}{j\omega T_2} \right) = X \dfrac{j\omega T_1 + 1}{j\omega T_2}\)
\(X\) を代入すると、
\(C = R \dfrac{j\omega T_2}{1+j\omega T_2} \cdot \dfrac{1+j\omega T_1}{j\omega T_2} = R \dfrac{1+j\omega T_1}{1+j\omega T_2}\)
よって伝達関数は \(\dfrac{1 + j\omega T_1}{1 + j\omega T_2}\) となる。