ある回路に、 \(i=4\sqrt{2}\sin 120\pi t\) \([\text{A}]\) の電流が流れている。この電流の瞬時値が、時刻 \(t=0\) \([\text{s}]\) 以降に初めて \(4\text{A}\) となるのは、時刻 \(t=t_{1}\) \([\text{s}]\) である。 \(t_{1}\) \([\text{s}]\) の値として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(5)。瞬時値の式に \(i=4\) A を代入して、最初に成り立つ位相を求めるだけの問題です。 \(\sin(120\pi t_1)=1/\sqrt{2}\) を満たす最初の角は \(\pi/4\) なので、\(t_1=1/480\) s になります。
詳細解説
この問題では、与えられた正弦波の瞬時値が指定値になる最初の時刻を位相から逆算することがポイントです。
\[ 4 = 4\sqrt{2} \sin(120\pi t_1) \]
\[ \sin(120\pi t_1) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \]
初めて条件を満たすのは位相が \(\dfrac{\pi}{4}\) のときである。
\[ 120\pi t_1 = \dfrac{\pi}{4} \]
\[ t_1 = \dfrac{1}{120 \times 4} = \dfrac{1}{480} [\text{s}] \]
よって、(5)が正しい。
ここでは実効値や位相差の換算は不要で、瞬時値の式をそのまま使えば足ります。「初めて」という条件があるので、\(\sin \theta = 1/\sqrt{2}\) の解のうち最小の \(\theta=\pi/4\) を選ぶことが大切です。 \(\frac{3\pi}{4}\) も条件を満たしますが、それは最初の時刻ではない点に注意します。
