定格出力 \(15\,[\text{kW}]\)、定格電圧 \(220\,[\text{V}]\)、定格周波数 \(60\,[\text{Hz}]\)、6極の三相誘導電動機がある。この電動機を定格電圧、定格周波数の三相電源に接続して定格出力で運転すると、滑りが \(5\,[\%]\) であった。機械損及び鉄損は無視できるものとして、次の(a)及び(b)に答えよ。
この電動機の発生トルクが上記(a)となったときに、一次銅損は \(250\,[\text{W}]\) であった。このときの効率 \([\%]\) の値として、最も近いのは次のうちどれか。
ただし、発生トルクと滑りの関係は比例するものとする。
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要点
正解は(3)。題意より、トルク \(T'\) が定格トルクの \(\dfrac{1}{2}\) になったとする。トルクと滑りは比例関係にあるとすると、このときの滑り \(s'\) は定格時の半分となる。
詳細解説
題意より、トルク \(T'\) が定格トルクの \(\dfrac{1}{2}\) になったとする。
トルクと滑りは比例関係にあるとすると、このときの滑り \(s'\) は定格時の半分となる。
\[ s' = \dfrac{s}{2} = \dfrac{0.05}{2} = 0.025 \]
このときの回転速度 \(N'\) は、
\[ N' = N_s(1-s') = 1200(1-0.025) = 1200 \times 0.975 = 1170 \ [\mathrm{min}^{-1}] \]
出力 \(P_{out}'\) は、トルクが \(\dfrac{1}{2}\)（すなわち \(T' \approx 62.8 \ [\mathrm{N \cdot m}]\)) であるから、
\[ P_{out}' = \dfrac{2\pi N'}{60} \times T' = \dfrac{2\pi \times 1170}{60} \times \dfrac{125.6}{2} \approx 7697 \ [\mathrm{W}] \]
二次銅損 \(P_{c2}'\) は、二次入力 \(P_2'\) との関係 \(P_{c2}' = s'P_2'\) および \(P_{out}' = (1-s')P_2'\) より、
\[ P_{c2}' = \dfrac{s'}{1-s'} P_{out}' = \dfrac{0.025}{1-0.025} \times 7697 \approx 197 \ [\mathrm{W}] \]
一次銅損 \(P_{c1}'\) は問題文より \(250 \ [\mathrm{W}]\) であり、鉄損・機械損は無視できるため、全損失 \(L'\) は、
\[ L' = P_{c1}' + P_{c2}' = 250 + 197 = 447 \ [\mathrm{W}] \]
入力 \(P_{in}'\) は、
\[ P_{in}' = P_{out}' + L' = 7697 + 447 = 8144 \ [\mathrm{W}] \]
よって、効率 \(\eta\) は、
\[ \eta = \dfrac{P_{out}'}{P_{in}'} \times 100 = \dfrac{7697}{8144} \times 100 \approx 94.5 \ [\%] \]
