図の回路において、正弦波交流電源と直流電源を流れる電流 \(I\) の実効値[A]として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、 \(E_{a}\) は交流電圧の実効値 [V], \(E_{d}\) は直流電圧の大きさ [V], \(X_{c}\) は正弦波交流電源に対するコンデンサの容量性リアクタンスの値 [\(\Omega\)], \(R\) は抵抗値 [\(\Omega\)] とする。
\(R=10\Omega\), \(X_{c}=10\Omega\), \(E_{a}=100\) V, \(E_{d}=100\) V
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要点
正解は(3)です。
重ね合わせの理を用いて、直流分と交流分を別々に計算し、最後に実効値を合成する。
1. 直流分 (\(I_{dc}\))
直流電源 \(E_d = 100\) V のみが作用する場合：
・コンデンサは開放となるため電流は流れない。
・抵抗 \(R=10\Omega\) にのみ電流が流れる。
・\(I_{dc} = \dfrac{100}{10} = 10\) A。
2. 交流分 (\(I_{ac}\))
交流電源 \(E_a = 100\) V のみが作用する場合：
・抵抗 \(R\) とコンデンサ \(X_c\) が並列に接続される。
・抵抗への電流: \(I_R = \dfrac{100}{10} = 10\) A（同相）。
・コンデンサへの電流: \(I_C = \dfrac{100}{10} = 10\) A（90度進み）。
・交流電流の大きさ（実効値）は、
\(I_{ac} = \sqrt{I_R^2 + I_C^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \approx 14.14\) A。
3. 全電流の実効値 (\(I\))
異なる周波数（直流と交流）の電流の合成実効値は、各実効値の二乗和の平方根となる。
\[ I = \sqrt{I_{dc}^2 + I_{ac}^2} = \sqrt{10^2 + (10\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 + 200} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ A} \]
よって、最も近い値は 17.3 A である。
以上より、選択肢(3)が正解です。
詳細解説
正解は(3)です。
重ね合わせの理を用いて、直流分と交流分を別々に計算し、最後に実効値を合成する。
1. 直流分 (\(I_{dc}\))
直流電源 \(E_d = 100\) V のみが作用する場合：
・コンデンサは開放となるため電流は流れない。
・抵抗 \(R=10\Omega\) にのみ電流が流れる。
・\(I_{dc} = \dfrac{100}{10} = 10\) A。
2. 交流分 (\(I_{ac}\))
交流電源 \(E_a = 100\) V のみが作用する場合：
・抵抗 \(R\) とコンデンサ \(X_c\) が並列に接続される。
・抵抗への電流: \(I_R = \dfrac{100}{10} = 10\) A（同相）。
・コンデンサへの電流: \(I_C = \dfrac{100}{10} = 10\) A（90度進み）。
・交流電流の大きさ（実効値）は、
\(I_{ac} = \sqrt{I_R^2 + I_C^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \approx 14.14\) A。
3. 全電流の実効値 (\(I\))
異なる周波数（直流と交流）の電流の合成実効値は、各実効値の二乗和の平方根となる。
\[ I = \sqrt{I_{dc}^2 + I_{ac}^2} = \sqrt{10^2 + (10\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 + 200} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ A} \]
よって、最も近い値は 17.3 A である。
以上より、選択肢(3)が正解です。
