問題文
図は、実効値が1Vで角周波数 \(\omega\) [krad/s] が変化する正弦波交流電源を含む回路である。いま、 \(\omega\) の値が \(\omega_{1}=5\) krad/s, \(\omega_{2}=10\) krad/s, \(\omega_{3}=30\) krad/s と3通りの場合を考え、 \(\omega=\omega_{k}\) \((k=1,2,3)\) のときの電流 \(i\) [A]の実効値を \(I_{k}\) と表すとき、\(I_{1}, I_{2}, I_{3}\) の大小関係として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
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選択肢
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(1)
\(I_{1} < I_{2} < I_{3}\)
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(2)
\(I_{1} = I_{2} < I_{3}\)
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(3)
\(I_{2} < I_{1} < I_{3}\)
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(4)
\(I_{2} < I_{1} = I_{3}\)
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(5)
\(I_{3} < I_{2} < I_{1}\)
RLC並列共振回路の問題である。共振角周波数 \(\omega_0\) を求める。
\(L = 1\) mH \(= 10^{-3}\) H, \(C = 10 \mu\)F \(= 10^{-5}\) F。
\[ \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{10^{-3} \times 10^{-5}}} = \dfrac{1}{\sqrt{10^{-8}}} = 10^4 \text{ rad/s} = 10 \text{ krad/s} \]
並列共振回路では、共振時（\(\omega = \omega_0\)）にインピーダンスが最大となり、電流は最小となる。
したがって、\(\omega_2 = 10\) krad/s のとき、電流 \(I_2\) は最小値をとる。
次に、\(\omega_1\) と \(\omega_3\) での電流の大きさを比較する。並列回路のサセプタンス成分 \(B(\omega) = \omega C - \dfrac{1}{\omega L}\) の絶対値が大きいほど、アドミタンスが大きくなり電流も大きくなる。
* \(\omega_1 = 5\) krad/s (\(0.5\omega_0\)):
\(B_1 = 5\times 10^3 \times 10^{-5} - \dfrac{1}{5\times 10^3 \times 10^{-3}} = 0.05 - 0.2 = -0.15\) S。
\(|B_1| = 0.15\)。
* \(\omega_3 = 30\) krad/s (\(3\omega_0\)):
\(B_3 = 30\times 10^3 \times 10^{-5} - \dfrac{1}{30\times 10^3 \times 10^{-3}} = 0.3 - \dfrac{1}{30} \approx 0.3 - 0.033 = 0.267\) S。
\(|B_3| \approx 0.267\)。
\(|B_3| > |B_1|\) であるため、アドミタンスは \(\omega_3\) の方が大きく、電流も大きくなる。
よって、順序は \(I_2 (\text{最小}) < I_1 < I_3\) となる。