図のように、平らで十分大きい導体でできた床から高さ \(h\) [m]の位置に正の電気量 \(Q\) [C]をもつ点電荷がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし、点電荷から床に下ろした垂線の足を点O、床より上側の空間は真空とし、床の導体は接地されている。真空の誘電率を \(\varepsilon_{0}\) [F/m] とする。
点電荷は床表面に現れた面電荷から鉛直方向の静電吸引力 \(F\) [N] を受ける。その力は床のない状態で点Oに対して点電荷と対称な位置に固定した電気量 \(-Q\) [C]の点電荷から受ける静電力に等しい。\(F\) [N]に逆らって、点電荷を高さ \(h\) [m] から \(z\) [m] (ただし \(h < z\)) まで鉛直方向に引き上げるのに必要な仕事 \(W\) [J]を表す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
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(1)
\(\dfrac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}z^{2}}\)
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(2)
\(\dfrac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{1}{h}-\dfrac{1}{z}\right)\)
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(3)
\(\dfrac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{1}{h}-\dfrac{1}{z}\right)\)
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(4)
\(\dfrac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}z^{2}}\)
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(5)
\(\dfrac{Q^{2}}{\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{1}{h^{2}}-\dfrac{1}{z^{2}}\right)\)
要点
正解は(3)。問題文の条件より，床表面に誘導される面電荷による吸引力は，点Oに固定した電気量 \( -\dfrac{Q}{4} \) の点電荷から受ける力と等価に扱える。したがって点電荷を高さ \(h\) から \(z\) へ引き上げる仕事は，この等価電荷が作る電位の変化だけを用いて より， となり(3)。
詳細解説
問題文の条件より，床表面に誘導される面電荷による吸引力は，点Oに固定した電気量 \( -\dfrac{Q}{4} \) の点電荷から受ける力と等価に扱える。したがって点電荷を高さ \(h\) から \(z\) へ引き上げる仕事は，この等価電荷が作る電位の変化だけを用いて
\[
V(r)=-\dfrac{Q}{16\pi \varepsilon_{0}r}
\]
より，
\[
W=Q\left(V(z)-V(h)\right)=\dfrac{Q^{2}}{16\pi \varepsilon_{0}}\left(\dfrac{1}{h}-\dfrac{1}{z}\right)
\]
となり(3)。
