図1に示す R-L 回路において、端子a-a'間に 5V の階段状のステップ電圧 \( v_1(t) \) を加えたとき、抵抗 \( R_2 \) に発生する電圧を \( v_2(t) \) とすると、 \( v_2(t) \) は図2のようになった。この回路の \( R_1 \, [\Omega] \)、\( R_2 \, [\Omega] \) 及び \( L \, [\text{H}] \) の値と、入力を \( v_1(t) \)、出力を \( v_2(t) \) としたときの周波数伝達関数 \( G(j\omega) \) の式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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(1)
\( R_1=80, R_2=20, L=0.2, G(j\omega)=\dfrac{0.5}{1+j0.2\omega} \)
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(2)
\( R_1=40, R_2=10, L=1.0, G(j\omega)=\dfrac{0.5}{1+j0.02\omega} \)
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(3)
\( R_1=8, R_2=2, L=0.1, G(j\omega)=\dfrac{0.2}{1+j0.2\omega} \)
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(4)
\( R_1=4, R_2=1, L=0.1, G(j\omega)=\dfrac{0.2}{1+j0.02\omega} \)
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(5)
\( R_1=0.8, R_2=0.2, L=1.0, G(j\omega)=\dfrac{0.2}{1+j0.2\omega} \)
要点
正解は(4)です。
1. 定常値からの抵抗比の特定:
ステップ入力 \( 5 \, \text{V} \) に対し、最終値（定常状態）で \( v_2 = 1.00 \, \text{V} \) となっている。定常状態ではコイルは短絡とみなせるため、分圧則より：
\[ 5 \times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} = 1 \implies R_1 + R_2 = 5R_2 \implies R_1 = 4R_2 \]
また、DCゲインは \( 1/5 = 0.2 \) である。
2. 時定数の特定:
図2より、最終値の 63% (\( 0.63 \, \text{V} \)) に達する時間が時定数 \( \tau \) である。グラフから \( \tau = 0.02 \, \text{s} \) と読み取れる。
RL回路の時定数は \( \tau = \dfrac{L}{R_{total}} = \dfrac{L}{R_1 + R_2} \) である。
3. 伝達関数:
\[ G(j\omega) = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2 + j\omega L} = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot \dfrac{1}{1 + j\omega \frac{L}{R_1+R_2}} = \dfrac{0.2}{1 + j0.02\omega} \]
これに合致する伝達関数を持つ選択肢は(2)か(4)か(5)（ゲイン0.2は(3)(4)(5)）。
正しい式は \( \dfrac{0.2}{1+j0.02\omega} \) なので、(4)が候補。
4. 定数の検証:
選択肢(4): \( R_1=4, R_2=1, L=0.1 \)
・抵抗比: \( 4:1 \) (OK)
・時定数: \( \tau = \dfrac{0.1}{4+1} = \dfrac{0.1}{5} = 0.02 \, \text{s} \) (OK)
よって(4)が正しい。
詳細解説
正解は(4)です。
1. 定常値からの抵抗比の特定:
ステップ入力 \( 5 \, \text{V} \) に対し、最終値（定常状態）で \( v_2 = 1.00 \, \text{V} \) となっている。定常状態ではコイルは短絡とみなせるため、分圧則より：
\[ 5 \times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} = 1 \implies R_1 + R_2 = 5R_2 \implies R_1 = 4R_2 \]
また、DCゲインは \( 1/5 = 0.2 \) である。
2. 時定数の特定:
図2より、最終値の 63% (\( 0.63 \, \text{V} \)) に達する時間が時定数 \( \tau \) である。グラフから \( \tau = 0.02 \, \text{s} \) と読み取れる。
RL回路の時定数は \( \tau = \dfrac{L}{R_{total}} = \dfrac{L}{R_1 + R_2} \) である。
3. 伝達関数:
\[ G(j\omega) = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2 + j\omega L} = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot \dfrac{1}{1 + j\omega \frac{L}{R_1+R_2}} = \dfrac{0.2}{1 + j0.02\omega} \]
これに合致する伝達関数を持つ選択肢は(2)か(4)か(5)（ゲイン0.2は(3)(4)(5)）。
正しい式は \( \dfrac{0.2}{1+j0.02\omega} \) なので、(4)が候補。
4. 定数の検証:
選択肢(4): \( R_1=4, R_2=1, L=0.1 \)
・抵抗比: \( 4:1 \) (OK)
・時定数: \( \tau = \dfrac{0.1}{4+1} = \dfrac{0.1}{5} = 0.02 \, \text{s} \) (OK)
よって(4)が正しい。
