慣性モーメント50kg・m²のはずみ車が、回転数1500min⁻¹で回転している。このはずみ車に負荷が加わり、2秒間で回転数が1000min⁻¹まで減速した。この間にはずみ車が放出した平均出力の値[kW]として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、軸受の摩擦や空気の抵抗は無視できるものとする。
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要点
正解は(3)。回転体のエネルギーは 1/2Jω² で、1500min⁻¹ と1000min⁻¹ の角速度からエネルギー差を求めます。2秒で放出された平均出力は約171kWです。
詳細解説
回転体の運動エネルギーは \(E = \dfrac{1}{2} J \omega^2\) です。
角速度 \(\omega\) を計算します。
\(\omega_1 = 2\pi \times \dfrac{1500}{60} = 50\pi \approx 157.1 \, \text{rad/s}\)
\(\omega_2 = 2\pi \times \dfrac{1000}{60} = \dfrac{100}{3}\pi \approx 104.7 \, \text{rad/s}\)
放出されたエネルギー \(\Delta E\) は、
\[ \Delta E = \dfrac{1}{2} J (\omega_1^2 - \omega_2^2) = \dfrac{1}{2} \times 50 \times \left( (50\pi)^2 - \left(\dfrac{100\pi}{3}\right)^2 \right) \]
\[ \Delta E = 25 \pi^2 \left( 2500 - \dfrac{10000}{9} \right) = 25 \pi^2 \left( \dfrac{12500}{9} \right) \approx 342700 \, \text{J} \]
2秒間で放出されたので、平均出力 \(P\) は、
\[ P = \dfrac{\Delta E}{t} = \dfrac{342700}{2} = 171350 \, \text{W} \approx 171 \, \text{kW} \]
