問題文
次の文章は、平行板コンデンサに関する記述である。
図のように、同じ寸法の直方体で誘電率の異なる二つの誘電体 (比誘電率 \(\varepsilon_{r1}\) の誘電体1と比誘電率 \(\varepsilon_{r2}\) の誘電体2) が平行板コンデンサに充填されている。極板間は一定の電圧 \(V\) [V] に保たれ、極板Aと極板Bにはそれぞれ \(+Q\) [C] と \(-Q\) [C] (\(Q>0\)) の電荷が蓄えられている。誘電体1と誘電体2は平面で接しており、その境界面は極板に対して垂直である。ただし、端効果は無視できるものとする。
この平行板コンデンサにおいて、極板A, Bに平行な誘電体1, 誘電体2の断面をそれぞれ面 \(S_{1}\), 面 \(S_{2}\) (面 \(S_{1}\) と面 \(S_{2}\) の断面積は等しい) とすると、面 \(S_{1}\) を貫く電気力線の総数 (任意の点の電気力線の密度は、その点での電界の大きさを表す) は、面 \(S_{2}\) を貫く電気力線の総数の (ア) 倍である。面 \(S_{1}\) を貫く電束の総数は面 \(S_{2}\) を貫く電束の総数の (イ) 倍であり、面 \(S_{1}\) と面 \(S_{2}\) を貫く電束の数の総和は (ウ) である。
上記の記述中の空白箇所 (ア) ～ (ウ) に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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選択肢
-
(1)
(イ)
\(\dfrac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}\)
-
(2)
(イ)
\(\dfrac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{Q}{\varepsilon_{r1}}+\dfrac{Q}{\varepsilon_{r2}}\)
-
(3)
(イ)
\(\dfrac{\varepsilon_{r2}}{\varepsilon_{r1}}\)
(ウ)
\(\dfrac{Q}{\varepsilon_{r1}}+\dfrac{Q}{\varepsilon_{r2}}\)
-
(4)
(ア)
\(\dfrac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{Q}{\varepsilon_{r1}}+\dfrac{Q}{\varepsilon_{r2}}\)
-
(5)
(ア)
\(\dfrac{\varepsilon_{r2}}{\varepsilon_{r1}}\)
端効果を無視すると，誘電体1・2はいずれも極板間距離\(d\)と電圧\(V\)が同じなので，電界は
\[
E_1=E_2=\dfrac{V}{d}
\]
となる。電気力線の密度は電界の大きさに比例し，断面積も等しいため（ア）は1。
一方，電束密度は\(D=\varepsilon E\)より，\(D_1:D_2=\varepsilon_{\mathrm{r1}}:\varepsilon_{\mathrm{r2}}\)なので，等しい面積を貫く電束（電荷に対応）の比は（イ）\(\dfrac{\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{\varepsilon_{\mathrm{r2}}}\)。
また，面\(S_1\)と\(S_2\)を貫く電束の総和は，極板に蓄えられた電荷\(Q\)に等しいので（ウ）は\(Q\)。