問題文
図のように、周波数 \( f \mathrm{[Hz]} \) の正弦波交流電圧 \( E \mathrm{[V]} \) の電源に、\( R \mathrm{[\Omega]} \) の抵抗、インダクタンス \( L \mathrm{[H]} \) のコイルとスイッチSを接続した回路がある。スイッチSが開いているときに回路が消費する電力 \(\mathrm{[W]}\) は、スイッチSが閉じているときに回路が消費する電力 \(\mathrm{[W]}\) の \( \dfrac{1}{2} \) になった。このとき、\( L \mathrm{[H]} \) の値を表す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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選択肢
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(4)
\( \dfrac{(2 \pi f)^2}{R} \)
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**スイッチSが閉じているとき**：
コイル \( L \) は短絡されるため、回路は抵抗 \( R \) のみとなります。
消費電力 \( P_{close} = \dfrac{E^2}{R} \)
**スイッチSが開いているとき**：
抵抗 \( R \) とコイル \( L \) の直列回路となります。誘導リアクタンスを \( X_L = 2\pi f L \) とします。
インピーダンス \( Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} \)
電流 \( I = \dfrac{E}{\sqrt{R^2 + X_L^2}} \)
消費電力 \( P_{open} = I^2 R = \dfrac{E^2}{R^2 + X_L^2} R \)
**条件より**：
\( P_{open} = \dfrac{1}{2} P_{close} \)
\[ \dfrac{E^2 R}{R^2 + X_L^2} = \dfrac{1}{2} \dfrac{E^2}{R} \]
両辺の \( E^2 \) を消去し整理すると、
\[ \dfrac{R}{R^2 + X_L^2} = \dfrac{1}{2R} \]
\[ 2R^2 = R^2 + X_L^2 \]
\[ R^2 = X_L^2 \implies R = X_L \]
これより、
\[ R = 2\pi f L \]
\[ L = \dfrac{R}{2\pi f} \]