問題文
次の文章は、直流電流計の測定範囲拡大について述べたものである。
内部抵抗 \(r=10\) [m\(\Omega\)], 最大目盛 0.5 [A] の直流電流計Mがある。この電流計と抵抗 \(R_{1}\) [m\(\Omega\)] 及び \(R_{2}\) [m\(\Omega\)] を図のように結線し、最大目盛が1 [A] と3 [A] からなる多重範囲電流計を作った。この多重範囲電流計において、端子3Aと端子+を使用する場合、抵抗 ( ア ) [m\(\Omega\)] が分流器となる。端子1Aと端子+を使用する場合には、抵抗 ( イ ) [m\(\Omega\)] が倍率 ( ウ ) 倍の分流器となる。また、3 [A] を最大目盛とする多重範囲電流計の内部抵抗は ( エ ) [m\(\Omega\)] となる。
上記の記述中の空白箇所(ア), (イ), (ウ)及び(エ)に当てはまる式又は数値として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
図はタップで拡大できます。
選択肢
-
(1)
(ウ)
\(\dfrac{10+R_{2}}{R_{1}}+1\)
-
(2)
(ウ)
\(\dfrac{10+R_{2}}{R_{1}}\)
-
(3)
(ウ)
\(\dfrac{10}{R_{1}+R_{2}}+1\)
-
(4)
(ウ)
\(\dfrac{10}{R_{1}+R_{2}}\)
-
(5)
(ウ)
\(\dfrac{10}{R_{1}+R_{2}}+1\)
回路図の接続（+端子が右、1Aが左、3Aが中央）を確認します。
1. **3A端子使用時 (+と3A)**:
電流は+端子から入り、\(R_1\) と「電流計M + \(R_2\)」の並列回路に分流して3A端子へ抜けます。
電流計Mと直列になるのは \(R_2\) で、並列になる（分流器）のは **\(R_1\)** です。よって (ア) は \(R_1\)。
2. **1A端子使用時 (+と1A)**:
電流は+端子から入り、電流計Mと「\(R_1 + R_2\)」の並列回路に分流して1A端子へ抜けます。
電流計Mと並列になるのは **\(R_1 + R_2\)** です。よって (イ) は \(R_1 + R_2\)。
3. **倍率 (ウ)**:
1Aレンジの倍率 \(m = \dfrac{I}{I_m} = \dfrac{1}{0.5} = 2\) 倍です。
分流器の式 \(m = 1 + \dfrac{r}{R_s}\) より、\(R_s = R_1 + R_2\) なので、
倍率 \(m = 1 + \dfrac{10}{R_1 + R_2}\)。よって (ウ) は **\(\dfrac{10}{R_1 + R_2} + 1\)**。
4. **内部抵抗 (エ)**:
3Aレンジの内部抵抗は、\(R_1\) と \((r + R_2)\) の並列合成抵抗です。
まず \(R_1, R_2\) を求めます。
1Aレンジ: \(m=2 \Rightarrow 1 + \dfrac{10}{R_1+R_2} = 2 \Rightarrow R_1+R_2 = 10\)。
3Aレンジ: \(m=6 (3/0.5)\)。分流器は \(R_1\)、直列抵抗は \(R_2\)。
\(I_m (r + R_2) = (I - I_m) R_1 \Rightarrow 0.5(10+R_2) = 2.5 R_1 \Rightarrow 10+R_2 = 5R_1\)。
\(R_2 = 10 - R_1\) を代入: \(10 + (10 - R_1) = 5R_1 \Rightarrow 20 = 6R_1 \Rightarrow R_1 = 10/3\)。
\(R_2 = 20/3\)。
3Aレンジの内部抵抗 \(R_{in} = \dfrac{R_1(r+R_2)}{R_1+r+R_2} = \dfrac{(10/3)(10+20/3)}{10/3+10+20/3} = \dfrac{(10/3)(50/3)}{60/3} = \dfrac{500/9}{20} = \dfrac{25}{9}\)。
よって (エ) は **\(\dfrac{25}{9}\)**。