問題文
大きさが等しい二つの導体球A, Bがある。両導体球に電荷が蓄えられている場合、両導体球の間に働く力は、導体球に蓄えられている電荷の積に比例し、導体球間の距離の2乗に反比例する。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし、両導体球の大きさは0.3mに比べて極めて小さいものとする。
小問(a)の導体球A, Bを、電荷を保持したままで0.3mの距離を隔てて固定した。ここで、導体球A, Bと大きさが等しく電荷を持たない導体球Cを用意し、導体球Cをまず導体球Aに接触させ、次に導体球Bに接触させた。この導体球Cを図のように導体球Aと導体球Bの間の直線上に置くとき、導体球Cが受ける力が釣り合う位置を導体球Aとの中心間距離[m]で表したとき、その距離に最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
図はタップで拡大できます。
選択肢
接触による電荷移動を考える。同じ大きさの導体球を接触させると、総電荷は等分される。
1. C(0) と A(\( 2 \times 10^{-8} \)) が接触：
総電荷 \( 2 \times 10^{-8} \)。それぞれ \( 1 \times 10^{-8} \) C になる。
\( Q_{A}' = 1 \times 10^{-8} \)、\( Q_{C}' = 1 \times 10^{-8} \)。
2. C(\( 1 \times 10^{-8} \)) と B(\( 3 \times 10^{-8} \)) が接触：
総電荷 \( 4 \times 10^{-8} \)。それぞれ \( 2 \times 10^{-8} \) C になる。
\( Q_{B}' = 2 \times 10^{-8} \)、\( Q_{C}'' = 2 \times 10^{-8} \)。
最終電荷：\( Q_{A}' = 1 \times 10^{-8} \)、\( Q_{B}' = 2 \times 10^{-8} \)、\( Q_{C}'' = 2 \times 10^{-8} \)。
CをAから距離 \( x \) [m] の位置に置く。Bからの距離は \( 0.3 - x \)。
Cが受ける力が釣り合う条件（Aからの反発力＝Bからの反発力）：
\[ k \dfrac{Q_{A}' Q_{C}''}{x^2} = k \dfrac{Q_{B}' Q_{C}''}{(0.3 - x)^2} \]
共通項を消去：
\[ \dfrac{Q_{A}'}{x^2} = \dfrac{Q_{B}'}{(0.3 - x)^2} \]
\[ \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{2}{(0.3 - x)^2} \]
両辺の平方根をとる（\( 0 < x < 0.3 \)）：
\[ \dfrac{1}{x} = \dfrac{\sqrt{2}}{0.3 - x} \]
\[ 0.3 - x = \sqrt{2} x \approx 1.414 x \]
\[ 2.414 x = 0.3 \]
\[ x = \dfrac{0.3}{2.414} \approx 0.124 \text{ [m]} \]