問題文
ある架空電線路の支持点間は200m, たるみは3.0mである。この架空電線路の電線と単位長さあたりの重量が同じ電線を用い、この架空電線路と同じ水平方向の引張強さで支持点間240mを架線する。このときの電線の実長 \(L\) \([\text{m}]\) として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし、いずれの架空電線路においても二つの支持点の高さは同一とする。
選択肢
電線の実長 \(L\) は、径間を \(S\)、たるみを \(D\) とすると近似式 \(L = S + \dfrac{8D^2}{3S}\) で表されます。
また、たるみ \(D\) は、電線重量 \(w\)、水平張力 \(T\) を用いて \(D = \dfrac{wS^2}{8T}\) で表されます。
条件より、\(w\) と \(T\) は両ケースで同じであるため、\(\dfrac{D}{S^2} = \dfrac{w}{8T} = \text{一定}\) となります。
ケース1：\(S_1 = 200\), \(D_1 = 3\)
ケース2：\(S_2 = 240\) のときの \(D_2\) を求める。
定数 \(K = \dfrac{D_1}{S_1^2} = \dfrac{3}{200^2}\)
\(D_2 = K \cdot S_2^2 = \dfrac{3}{200^2} \times 240^2 = 3 \times \left(\dfrac{240}{200}\right)^2 = 3 \times 1.2^2 = 3 \times 1.44 = 4.32 \text{m}\)
求める実長 \(L_2\) は、
\[ L_2 = 240 + \dfrac{8 \times 4.32^2}{3 \times 240} = 240 + \dfrac{8 \times 18.6624}{720} = 240 + 0.20736 \]
最も近い値は 240.21 です。