問題文
図のように、透磁率 \(\mu_{0}\) [H/m] の真空中に無限に長い直線状導体Aと1辺 \(a\) [m] の正方形のループ状導体Bが距離 \(d\) [m] を隔てて置かれている。AとBは \(xz\) 平面上にあり、Aは \(z\) 軸と平行、Bの各辺は \(x\) 軸又は \(z\) 軸と平行である。
A、Bには直流電流 \(I_{A}\) [A], \(I_{B}\) [A] が、それぞれ図示する方向に流れている。このとき、Bに加わる電磁力として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
なお、\(xyz\) 座標の定義は、破線の枠内の図で示したとおりとする。
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選択肢
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(2)
\(\dfrac{\mu_{0}I_{A}I_{B}a^{2}}{2\pi d(a+d)}\) [N] の \(+x\) 方向の力
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(3)
\(\dfrac{\mu_{0}I_{A}I_{B}a^{2}}{2\pi d(a+d)}\) [N] の \(-x\) 方向の力
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(4)
\(\dfrac{\mu_{0}I_{A}I_{B}a(a+2d)}{2\pi d(a+d)}\) [N] の \(+x\) 方向の力
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(5)
\(\dfrac{\mu_{0}I_{A}I_{B}a(a+2d)}{2\pi d(a+d)}\) [N] の \(-x\) 方向の力
導体Aが作る磁界によって、ループ導体Bの各辺に力が働きます。
Bの上下の辺（\(x\)軸に平行な辺）に働く力は大きさが等しく向きが逆になるため相殺されます。
Bの左右の辺（\(z\)軸に平行な辺）について考えます。
1. **左側の辺（Aに近い方、距離 \(d\)）:**
電流 \(I_B\) は上向き（\(+z\)）、磁界は紙面裏から表向き（\(-y\)）に作用します（右ねじの法則）。フレミングの左手の法則より、力 \(F_1\) は右向き（\(+x\)方向、反発力）となります。
\(F_1 = I_B a \times \dfrac{\mu_0 I_A}{2\pi d} = \dfrac{\mu_0 I_A I_B a}{2\pi d}\)
2. **右側の辺（Aから遠い方、距離 \(d+a\)）:**
電流 \(I_B\) は下向き（\(-z\)）、磁界の向きは同じ。力 \(F_2\) は左向き（\(-x\)方向、引力）となります。
\(F_2 = I_B a \times \dfrac{\mu_0 I_A}{2\pi (d+a)} = \dfrac{\mu_0 I_A I_B a}{2\pi (d+a)}\)
3. **合力:**
\(d < d+a\) より \(F_1 > F_2\) なので、全体として \(+x\) 方向（反発力）になります。
\(F = F_1 - F_2 = \dfrac{\mu_0 I_A I_B a}{2\pi} \left( \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{d+a} \right)\)
\(= \dfrac{\mu_0 I_A I_B a}{2\pi} \dfrac{(d+a) - d}{d(d+a)} = \dfrac{\mu_0 I_A I_B a^2}{2\pi d(d+a)}\) [N]
よって、大きさは \(\dfrac{\mu_{0}I_{A}I_{B}a^{2}}{2\pi d(a+d)}\) で、方向は \(+x\) 方向です。